Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 78 Атанасян — Подробные Ответы
На рисунке 42 изображён параллелепипед ABCDA1B1C1D1, на рёбрах которого отмечены точки M, N, M1 и N1 так, что AM=CN=A1M1=C1N1. Докажите, что MBNDM1B1N1D1 — параллелепипед.
Для доказательства, что MBNDM1B1N1D1 является параллелепипедом, достаточно показать, что:
1) Противоположные рёбра равны: \(MB = ND\), \(MN = BD\), \(M1B1 = N1D1\), \(M1N1 = B1D1\)
2) Противоположные грани являются параллелограммами: MBND, MB1N1D1, M1B1N1D, MBM1B1
Из условия следует, что \(AM = CN\) и \(A1M1 = C1N1\), поэтому по свойству параллелограмма \(MB = ND\) и \(M1B1 = N1D1\). Аналогично, \(AB = CD\) и \(A1B1 = C1D1\), следовательно, \(MN = BD\) и \(M1N1 = B1D1\).
Таким образом, все необходимые условия выполнены, и MBNDM1B1N1D1 является параллелепипедом.
Для доказательства того, что MBNDM1B1N1D1 является параллелепипедом, необходимо показать, что выполняются следующие условия:
1. Противоположные рёбра параллелепипеда равны: \(MB = ND\), \(MN = BD\), \(M1B1 = N1D1\), \(M1N1 = B1D1\).
2. Противоположные грани параллелепипеда являются параллелограммами: MBND, MB1N1D1, M1B1N1D, MBM1B1.
Рассмотрим каждое из этих условий:
1. Противоположные рёбра равны:
— Так как \(AM = CN\) и \(A1M1 = C1N1\), то по свойству параллелограмма \(MB = ND\) и \(M1B1 = N1D1\).
— Так как \(AB = CD\) и \(A1B1 = C1D1\), то по свойству параллелограмма \(MN = BD\) и \(M1N1 = B1D1\).
2. Противоположные грани являются параллелограммами:
— Грань MBND является параллелограммом, так как \(MB = ND\) и \(MN = BD\).
— Грань MB1N1D1 является параллелограммом, так как \(MB = ND\) и \(M1B1 = N1D1\).
— Грань M1B1N1D является параллелограммом, так как \(M1B1 = N1D\) и \(M1N1 = B1D1\).
— Грань MBM1B1 является параллелограммом, так как \(AM = A1M1\) и \(AB = A1B1\).
Таким образом, все необходимые условия выполнены, и можно сделать вывод, что MBNDM1B1N1D1 является параллелепипедом.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.