Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 73 Атанасян — Подробные Ответы
В тетраэдре \(ABCD\) точки \(M\), \(N\) и \(Р\) являются серединами рёбер \(АВ\), \(ВС\) и \(CD\), \(AC = 10\) см, \(BD = 12\) см. Докажите, что плоскость \(MNP\) проходит через середину \(К\) ребра \(AD\), и найдите периметр четырёх- угольника, получившегося при пересечении тетраэдра с плоско- стью \(MNP\).
В тетраэдре \(ABCD\) точки \(M\), \(N\) и \(P\) являются серединами рёбер \(AB\), \(BC\) и \(CD\) соответственно. Известно, что \(AC = 10\) см и \(BD = 12\) см. Докажем, что плоскость \(MNP\) проходит через середину \(Q\) ребра \(AD\), и найдём периметр четырёхугольника \(MNPQ\).
Поскольку \(MN\) является средней линией треугольника \(ABC\), она параллельна \(AC\). Согласно признаку параллельности прямой и плоскости, \(MN\) параллельна плоскости \(MNP\). Плоскость \(ACD\) пересекает плоскость \(MNP\) по прямой \(QP\), поэтому \(AC\) параллельна \(QP\). Так как \(P\) — середина ребра \(CD\), \(QP\) является средней линией треугольника \(ACD\), следовательно, \(Q\) — середина ребра \(AD\), а \(MQ\) — средняя линия треугольника \(ABD\).
Четырёхугольник \(MNPQ\) является параллелограммом, так как противоположные стороны \(MQ\), \(NP\) и \(MN\), \(QP\) параллельны. Периметр параллелограмма \(MNPQ\) вычисляется по формуле:
\[P_{\text{MNPQ}} = 2MQ + 2PQ = 2 \cdot \frac{BD}{2} + 2 \cdot \frac{AC}{2} = BD + AC = 22\text{ см}\]
Доказательство:
Рассмотрим точку \(Q\) — середину ребра \(AD\) тетраэдра \(ABCD\). Известно, что \(MN\) — средняя линия треугольника \(ABC\), следовательно, \(MN\) параллельна \(AC\). Согласно признаку параллельности прямой и плоскости, \(MN\) параллельна плоскости \(MNP\).
Плоскость \(ACD\) проходит через прямую \(AC\), параллельную плоскости \(MNP\), и пересекает её по прямой \(QP\). Таким образом, \(AC\) параллельна \(QP\). Так как \(P\) — середина ребра \(CD\), то \(QP\) является средней линией треугольника \(ACD\). Следовательно, \(Q\) является серединой ребра \(AD\), а \(MQ\) — средней линией треугольника \(ABD\).
Нахождение периметра четырёхугольника \(MNPQ\):
Докажем, что четырёхугольник \(MNPQ\) является параллелограммом. Известно, что \(MQ\) и \(NP\) параллельны \(BD\), так как являются средними линиями треугольников \(ABD\) и \(BCD\) соответственно. Аналогично, \(MN\) и \(QP\) параллельны, так как являются пересечениями плоскости \(ACD\) с гранями \(DAB\) и \(DBC\) соответственно. Таким образом, противоположные стороны четырёхугольника \(MNPQ\) параллельны, следовательно, он является параллелограммом.
Тогда периметр параллелограмма \(MNPQ\) можно найти по формуле:
\[P_{\text{MNPQ}} = 2MQ + 2PQ\]
Известно, что \(MQ\) равна половине ребра \(BD\), как средняя линия треугольника \(ABD\), и \(PQ\) равна половине ребра \(AC\), как средняя линия треугольника \(ACD\). Таким образом:
\[P_{\text{MNPQ}} = 2 \cdot \frac{BD}{2} + 2 \cdot \frac{AC}{2} = BD + AC = 22\text{ см}\]
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.