ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 7 Атанасян — Подробные Ответы

Две прямые пересекаются в точке \(M\). Докажите, что все прямые, не проходящие через точку \(M\) и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку \(M\)?

Дано: прямые \(a\) и \(b\) пересекаются в точке \(M\). Прямая \(c\) пересекает \(a\) и \(b\) в точках \(K\) и \(L\) (\(K \neq M\), \(L \neq M\)).

1. Докажем, что все прямые \(c\), пересекающие \(a\) и \(b\) в точках, отличных от \(M\), лежат в одной плоскости.
Через три точки \(M\), \(K\), \(L\) (не лежащие на одной прямой) можно провести единственную плоскость \(\alpha\). Так как \(a\) и \(b\) пересекаются в \(M\), обе прямые \(a\) и \(b\) лежат в \(\alpha\). Прямая \(c\), пересекающая \(a\) и \(b\), также лежит в \(\alpha\). Аналогично доказывается для любой другой прямой \(c\).

2. Прямые, проходящие через точку \(M\), не обязательно лежат в одной плоскости, так как через \(M\) можно провести бесконечно много прямых, не ограниченных плоскостью.

Ответ:
1. Все прямые \(c\), пересекающие \(a\) и \(b\), лежат в одной плоскости.
2. Прямые, проходящие через точку \(M\), не лежат в одной плоскости.

Дано:
Прямые \(a\) и \(b\) пересекаются в точке \(M\): \(M = a \cap b\).
Прямая \(c\) пересекает \(a\) и \(b\) в точках \(K\) и \(L\) соответственно: \(K = a \cap c\), \(L = b \cap c\), причём \(K \neq M\), \(L \neq M\).

Требуется доказать:
1. Все прямые \(c\), удовлетворяющие условию задачи (\(c\) пересекает \(a\) и \(b\) в точках, отличных от \(M\)), лежат в одной плоскости.
2. Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку \(M\)?

Рассмотрим решение:

Пусть \(c_1\) — произвольная прямая, удовлетворяющая условию задачи.
Прямая \(c_1\) пересекает \(a\) в точке \(K_1\) (\(K_1 \neq M\)) и пересекает \(b\) в точке \(L_1\) (\(L_1 \neq M\)).

Согласно аксиоме A1, через три точки, не лежащие на одной прямой (\(M\), \(K_1\), \(L_1\)), можно провести единственную плоскость \(\alpha\).
Так как \(a\) и \(b\) пересекаются в точке \(M\), то обе прямые \(a\) и \(b\) лежат в плоскости \(\alpha\).
Прямая \(c_1\), пересекающая \(a\) и \(b\) в точках \(K_1\) и \(L_1\), также лежит в плоскости \(\alpha\).

Теперь рассмотрим другую прямую \(c_2\), которая также пересекает \(a\) и \(b\) в точках \(K_2\) (\(K_2 \neq M\)) и \(L_2\) (\(L_2 \neq M\)).
Аналогично, через точки \(M\), \(K_2\), \(L_2\) можно провести единственную плоскость \(\beta\).
Прямые \(a\) и \(b\), проходящие через точку \(M\), лежат в плоскости \(\beta\), а значит, \(c_2\) также лежит в плоскости \(\beta\).

Так как \(c_1\) и \(c_2\) пересекают \(a\) и \(b\), обе прямые \(c_1\) и \(c_2\) лежат в одной и той же плоскости, содержащей \(a\) и \(b\).
Следовательно, все прямые \(c\), удовлетворяющие условию задачи, лежат в одной плоскости.

Теперь проверим, лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку \(M\).
Рассмотрим произвольную прямую \(d\), проходящую через \(M\), но не совпадающую с \(a\) или \(b\).
По условию, \(a \cap b = M\), а значит, \(a\) и \(b\) не лежат на одной прямой.
Прямая \(d\), проходящая через \(M\), может пересекать \(a\) и \(b\) в точке \(M\), но не обязана лежать в одной плоскости с \(a\) и \(b\).

Таким образом, прямые, проходящие через точку \(M\), не обязательно лежат в одной плоскости.

Ответ:
1. Все прямые \(c\), удовлетворяющие условию задачи, лежат в одной плоскости.
2. Прямые, проходящие через точку \(M\), не обязательно лежат в одной плоскости.