Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 68 Атанасян — Подробные Ответы
Точки \(M\) и \(N\) — середины рёбер \(AB\) и \(AC\) тетраэдра \(ABCD\). Докажите, что прямая \(MN\) параллельна плоскости \(BCD\).
Для доказательства параллельности прямой \(MN\) и плоскости \(BCD\) тетраэдра \(ABCD\) используем два утверждения.
Сначала рассмотрим прямые \(AB\) и \(CD\). Они пересекают прямую \(MN\) и образуют с ней равные накрест лежащие углы. Так как \(M\) и \(N\) — середины рёбер \(AB\) и \(AC\), то \( \angle AMN = \angle CND \). Это означает, что прямые \(AB\) и \(CD\) параллельны.
Далее рассмотрим плоскости \(ABC\) и \(BCD\). Они пересекают плоскость \(MNQ\) по параллельным прямым \(AB\) и \(CD\). Таким образом, плоскости \(ABC\) и \(BCD\) также параллельны.
В итоге, прямая \(MN\) параллельна плоскости \(BCD\) тетраэдра \(ABCD\).
Для доказательства параллельности прямой \(MN\) и плоскости \(BCD\) тетраэдра \(ABCD\) воспользуемся следующими утверждениями:
1. Если две прямые пересекают третью прямую и образуют с ней равные накрест лежащие углы, то эти две прямые параллельны.
2. Если две плоскости пересекают третью плоскость по параллельным прямым, то эти две плоскости параллельны.
Рассмотрим прямые \(AB\) и \(CD\). Они пересекают прямую \(MN\) и образуют с ней равные накрест лежащие углы, так как \(M\) и \(N\) — середины рёбер \(AB\) и \(AC\) соответственно. Следовательно, прямые \(AB\) и \(CD\) параллельны.
Теперь рассмотрим плоскости \(ABC\) и \(BCD\). Они пересекают плоскость \(MNQ\) по параллельным прямым \(AB\) и \(CD\). Следовательно, плоскости \(ABC\) и \(BCD\) параллельны.
Таким образом, мы доказали, что прямая \(MN\) параллельна плоскости \(BCD\) тетраэдра \(ABCD\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.