ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 61 Атанасян — Подробные Ответы

Даны две пересекающиеся прямые а и b и точка А, не лежащая в плоcкости этих прямых. Докажите, что через точку А проходит плоскость, параллельная прямым а и b, и притом только одна.

Рассмотрим плоскость \(\alpha\) и точку \(A\), не лежащую в этой плоскости. Проведем в плоскости \(\alpha\) две пересекающиеся прямые \(a\) и \(b\). Через точку \(A\) проведем прямые \(a_1\) и \(b_1\), параллельные прямым \(a\) и \(b\).

Определим плоскость \(\beta\), проходящую через прямые \(a_1\) и \(b_1\). Плоскость \(\beta\) будет параллельна плоскости \(\alpha\), так как содержит две параллельные прямые.

Теперь предположим, что существует другая плоскость \(\gamma\), проходящая через точку \(A\) и параллельная плоскости \(\alpha\). Плоскость \(\gamma\) должна пересекаться с плоскостью \(\beta\), так как обе проходят через одну и ту же точку \(A\). Это означает, что плоскость \(\gamma\) пересекает плоскость \(\alpha\), что противоречит условию параллельности.

Таким образом, через точку \(A\) проходит только одна плоскость, параллельная плоскости \(\alpha\).

Рассмотрим данную ситуацию. Пусть даны две пересекающиеся прямые \(a\) и \(b\), и точка \(A\), не лежащая в плоскости этих прямых.

Проведем через точку \(A\) прямые \(a_1\) и \(b_1\), параллельные соответственно прямым \(a\) и \(b\). Эти прямые \(a_1\) и \(b_1\) определяют плоскость \(\beta\), которая будет параллельна плоскости, проходящей через прямые \(a\) и \(b\).

Предположим, что через точку \(A\) проходит еще одна плоскость \(\gamma\), параллельная плоскости, содержащей прямые \(a\) и \(b\). Тогда плоскость \(\gamma\) должна пересекать плоскость \(\beta\), так как обе проходят через точку \(A\). Но это противоречит тому, что плоскости \(\beta\) и \(\gamma\) параллельны.

Таким образом, мы доказали, что через точку \(A\), не лежащую в плоскости прямых \(a\) и \(b\), проходит только одна плоскость \(\beta\), параллельная плоскости, содержащей эти прямые.

Ответ: Через точку \(A\), не лежащую в плоскости прямых \(a\) и \(b\), проходит единственная плоскость \(\beta\), параллельная плоскости, содержащей эти прямые.