ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 60 Атанасян — Подробные Ответы

Две плоскости α и β параллельны плоскости γ. Докажите, что плоскости α и β параллельны.

Рассмотрим плоскость \(\alpha\) и точку \(A\), не лежащую в этой плоскости. Проведем в плоскости \(\alpha\) две пересекающиеся прямые \(a\) и \(b\). Через точку \(A\) проведем прямые \(a_1\) и \(b_1\), параллельные прямым \(a\) и \(b\).

Определим плоскость \(\beta\), проходящую через прямые \(a_1\) и \(b_1\). Плоскость \(\beta\) будет параллельна плоскости \(\alpha\), так как содержит две параллельные прямые.

Теперь предположим, что существует другая плоскость \(\gamma\), проходящая через точку \(A\) и параллельная плоскости \(\alpha\). Плоскость \(\gamma\) должна пересекаться с плоскостью \(\beta\), так как обе проходят через одну и ту же точку \(A\). Это означает, что плоскость \(\gamma\) пересекает плоскость \(\alpha\), что противоречит условию параллельности.

Таким образом, через точку \(A\) проходит только одна плоскость, параллельная плоскости \(\alpha\).

Пусть плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны плоскости \(\gamma\). Это означает, что плоскости \(\alpha\) и \(\gamma\), а также \(\beta\) и \(\gamma\) не пересекаются.

Рассмотрим две произвольные прямые \(a\) и \(b\), лежащие в плоскости \(\alpha\). Эти прямые также лежат в плоскости \(\gamma\), так как \(\alpha\) параллельна \(\gamma\).

Аналогично, две произвольные прямые \(c\) и \(d\), лежащие в плоскости \(\beta\), также лежат в плоскости \(\gamma\), так как \(\beta\) параллельна \(\gamma\).

Поскольку прямые \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\) лежат в плоскости \(\gamma\), они попарно пересекаются. Это означает, что плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) имеют по крайней мере две пересекающиеся прямые, а значит, они параллельны.

Таким образом, мы доказали, что если плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны плоскости \(\gamma\), то они также параллельны друг другу.