Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 6 Атанасян — Подробные Ответы
Три данные точки соединены попарно отрезками. Докажите, что все отрезки лежат в одной плоскости.
Дано три точки \(A\), \(B\), \(C\). Согласно аксиоме планиметрии (аксиома А1), через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести единственную плоскость \(\alpha\), так что \(A \in \alpha\), \(B \in \alpha\), \(C \in \alpha\).
Согласно аксиоме принадлежности (аксиома А2), если две точки отрезка принадлежат одной плоскости, то весь отрезок также принадлежит этой плоскости. Поэтому:
\(
(AB) \subset \alpha, \, (AC) \subset \alpha, \, (BC) \subset \alpha.
\)
Ответ: Все три отрезка лежат в одной плоскости.
Рассмотрим три точки \(A\), \(B\) и \(C\), которые не совпадают.
Проведём доказательство того, что отрезки \((AB)\), \((AC)\) и \((BC)\) лежат в одной плоскости.
Согласно аксиоме планиметрии (аксиома А1), через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести единственную плоскость. Это означает, что точки \(A\), \(B\) и \(C\) лежат в одной плоскости, которую обозначим как \(\alpha\). Таким образом, имеем:
\(
A \in \alpha, \, B \in \alpha, \, C \in \alpha.
\)
Согласно аксиоме принадлежности (аксиома А2), если две точки отрезка принадлежат одной плоскости, то весь отрезок, соединяющий эти точки, также принадлежит этой плоскости. Применим эту аксиому к трём отрезкам:
1. Рассмотрим отрезок \((AB)\). Его концы \(A\) и \(B\) принадлежат плоскости \(\alpha\). Следовательно, согласно аксиоме А2, весь отрезок \((AB)\) также принадлежит плоскости \(\alpha\):
\(
(AB) \subset \alpha.
\)
2. Аналогично, рассмотрим отрезок \((AC)\). Его концы \(A\) и \(C\) принадлежат плоскости \(\alpha\). Согласно аксиоме А2, весь отрезок \((AC)\) также принадлежит плоскости \(\alpha\):
\(
(AC) \subset \alpha.
\)
3. Наконец, рассмотрим отрезок \((BC)\). Его концы \(B\) и \(C\) принадлежат плоскости \(\alpha\). Согласно аксиоме А2, весь отрезок \((BC)\) также принадлежит плоскости \(\alpha\):
\(
(BC) \subset \alpha.
\)
Таким образом, мы доказали, что все три отрезка \((AB)\), \((AC)\) и \((BC)\) лежат в одной плоскости \(\alpha\).
Ответ: Доказательство завершено. Все три отрезка лежат в одной плоскости.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.