ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 59 Атанасян — Подробные Ответы

Докажите, что через точку \(A\), не лежащую в плоскости \(a\), проходит плоскость, параллельная плоскости \(a\), и притом только одна.
Проведём в плоскости \(a\) две пересекающиеся прямые \(a\) и \(b\), а через точку \(A\) проведём прямые \(a_1\) и \(b_1\), соответственно параллельные прямым \(a\) и \(b\). Рассмотрим плоскость \(B\), проходящую через прямые \(a_1\) и \(b_1\). Плоскость \(B\) — искомая, так как она проходит через точку \(A\) и по признаку параллельности двух плоскостей параллельна плоскости \(a\).
Докажем теперь, что \(B\) — единственная плоскость, проходящая через данную точку \(A\) и параллельная плоскости \(a\). В самом деле, любая другая плоскость, проходящая через точку \(A\), пересекает плоскость \(B\), поэтому пересекает и параллельную ей плоскость \(a\) (задача 58).

Рассмотрим плоскость \(a\) и точку \(A\), не лежащую в этой плоскости. Проведем в плоскости \(a\) две пересекающиеся прямые \(a\) и \(b\). Через точку \(A\) проведем прямые \(a_1\) и \(b_1\), параллельные прямым \(a\) и \(b\).

Определим плоскость \(B\), проходящую через прямые \(a_1\) и \(b_1\). Плоскость \(B\) будет параллельна плоскости \(a\), так как содержит две параллельные прямые.

Теперь предположим, что существует другая плоскость \(C\), проходящая через точку \(A\) и параллельная плоскости \(a\). Плоскость \(C\) должна пересекаться с плоскостью \(B\), так как обе проходят через одну и ту же точку \(A\). Это означает, что плоскость \(C\) пересекает плоскость \(a\), что противоречит условию параллельности.

Таким образом, через точку \(A\) проходит только одна плоскость, параллельная плоскости \(a\).

Рассмотрим плоскость \(a\) и точку \(A\), которая не лежит в этой плоскости. По определению, две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Мы хотим доказать, что через точку \(A\) проходит только одна плоскость, параллельная плоскости \(a\).

Для начала проведем в плоскости \(a\) две пересекающиеся прямые \(a\) и \(b\). Эти прямые определяют направление, по которому мы можем провести другие прямые, параллельные им. Теперь через точку \(A\) проведем прямые \(a_1\) и \(b_1\), которые будут соответственно параллельны прямым \(a\) и \(b\).

Теперь мы можем рассмотреть плоскость \(B\), которая проходит через прямые \(a_1\) и \(b_1\). Эта плоскость \(B\) будет параллельна плоскости \(a\) по следующему признаку: если две плоскости имеют хотя бы две параллельные прямые, находящиеся в них, то эти плоскости параллельны. Поскольку прямая \(a_1\) параллельна \(a\), а прямая \(b_1\) параллельна \(b\), плоскость \(B\) будет параллельна плоскости \(a\).

Теперь необходимо доказать, что плоскость \(B\) является единственной плоскостью, проходящей через точку \(A\) и параллельной плоскости \(a\). Предположим, что существует другая плоскость \(C\), которая также проходит через точку \(A\) и параллельна плоскости \(a\). Плоскость \(C\) должна пересекаться с плоскостью \(B\), так как обе они проходят через одну и ту же точку \(A\).

Если плоскость \(C\) пересекает плоскость \(B\), то по свойству параллельности плоскостей это означает, что плоскость \(C\) также должна пересекаться с плоскостью \(a\). Это противоречит нашему исходному предположению о том, что плоскость \(C\) параллельна плоскости \(a\). Таким образом, предположение о существовании другой плоскости, параллельной плоскости \(a\) и проходящей через точку \(A\), неверно.

Следовательно, через точку \(A\) проходит только одна плоскость, параллельная плоскости \(a\). Это завершает доказательство.