Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 59 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что через точку \(A\), не лежащую в плоскости \(a\), проходит плоскость, параллельная плоскости \(a\), и притом только одна.
Проведём в плоскости \(a\) две пересекающиеся прямые \(a\) и \(b\), а через точку \(A\) проведём прямые \(a_1\) и \(b_1\), соответственно параллельные прямым \(a\) и \(b\). Рассмотрим плоскость \(B\), проходящую через прямые \(a_1\) и \(b_1\). Плоскость \(B\) — искомая, так как она проходит через точку \(A\) и по признаку параллельности двух плоскостей параллельна плоскости \(a\).
Докажем теперь, что \(B\) — единственная плоскость, проходящая через данную точку \(A\) и параллельная плоскости \(a\). В самом деле, любая другая плоскость, проходящая через точку \(A\), пересекает плоскость \(B\), поэтому пересекает и параллельную ей плоскость \(a\) (задача 58).
Рассмотрим плоскость \(a\) и точку \(A\), не лежащую в этой плоскости. Проведем в плоскости \(a\) две пересекающиеся прямые \(a\) и \(b\). Через точку \(A\) проведем прямые \(a_1\) и \(b_1\), параллельные прямым \(a\) и \(b\).
Определим плоскость \(B\), проходящую через прямые \(a_1\) и \(b_1\). Плоскость \(B\) будет параллельна плоскости \(a\), так как содержит две параллельные прямые.
Теперь предположим, что существует другая плоскость \(C\), проходящая через точку \(A\) и параллельная плоскости \(a\). Плоскость \(C\) должна пересекаться с плоскостью \(B\), так как обе проходят через одну и ту же точку \(A\). Это означает, что плоскость \(C\) пересекает плоскость \(a\), что противоречит условию параллельности.
Таким образом, через точку \(A\) проходит только одна плоскость, параллельная плоскости \(a\).
Рассмотрим плоскость \(a\) и точку \(A\), которая не лежит в этой плоскости. По определению, две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Мы хотим доказать, что через точку \(A\) проходит только одна плоскость, параллельная плоскости \(a\).
Для начала проведем в плоскости \(a\) две пересекающиеся прямые \(a\) и \(b\). Эти прямые определяют направление, по которому мы можем провести другие прямые, параллельные им. Теперь через точку \(A\) проведем прямые \(a_1\) и \(b_1\), которые будут соответственно параллельны прямым \(a\) и \(b\).
Теперь мы можем рассмотреть плоскость \(B\), которая проходит через прямые \(a_1\) и \(b_1\). Эта плоскость \(B\) будет параллельна плоскости \(a\) по следующему признаку: если две плоскости имеют хотя бы две параллельные прямые, находящиеся в них, то эти плоскости параллельны. Поскольку прямая \(a_1\) параллельна \(a\), а прямая \(b_1\) параллельна \(b\), плоскость \(B\) будет параллельна плоскости \(a\).
Теперь необходимо доказать, что плоскость \(B\) является единственной плоскостью, проходящей через точку \(A\) и параллельной плоскости \(a\). Предположим, что существует другая плоскость \(C\), которая также проходит через точку \(A\) и параллельна плоскости \(a\). Плоскость \(C\) должна пересекаться с плоскостью \(B\), так как обе они проходят через одну и ту же точку \(A\).
Если плоскость \(C\) пересекает плоскость \(B\), то по свойству параллельности плоскостей это означает, что плоскость \(C\) также должна пересекаться с плоскостью \(a\). Это противоречит нашему исходному предположению о том, что плоскость \(C\) параллельна плоскости \(a\). Таким образом, предположение о существовании другой плоскости, параллельной плоскости \(a\) и проходящей через точку \(A\), неверно.
Следовательно, через точку \(A\) проходит только одна плоскость, параллельная плоскости \(a\). Это завершает доказательство.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.