Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 56 Атанасян — Подробные Ответы
Плоскости α и β параллельны, А — точка плоскости α. Докажите, что любая прямая, проходящая через точку А и параллельная плоскости β, лежит в плоскости α.
Пусть прямая \(l\), проходящая через точку \(A\) и параллельная плоскости \(\beta\), имеет уравнение \(\vec{r} = \vec{r}_A + t \cdot \vec{n}_\beta\), где \(\vec{r}_A\) — радиус-вектор точки \(A\), \(\vec{n}_\beta\) — нормальный вектор плоскости \(\beta\), и \(t\) — параметр прямой. Так как плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, их нормальные векторы \(\vec{n}_\alpha\) и \(\vec{n}_\beta\) коллинеарны: \(\vec{n}_\alpha = k \cdot \vec{n}_\beta\). Подставляя выражение для \(\vec{r}\) в уравнение плоскости \(\alpha\): \(\vec{n}_\alpha \cdot \vec{r} = \vec{n}_\alpha \cdot \vec{r}_A\), получаем \(t \cdot \vec{n}_\beta \cdot \vec{n}_\beta = 0\), откуда \(t = 0\). Следовательно, прямая \(l\) лежит в плоскости \(\alpha\).
Пусть прямая, проходящая через точку A и параллельная плоскости β, имеет уравнение \(l: \vec{r} = \vec{r}_A + t \cdot \vec{n}_\beta\), где \(\vec{r}_A\) — радиус-вектор точки A, \(\vec{n}_\beta\) — нормальный вектор плоскости β, и \(t\) — параметр прямой.
Так как плоскости α и β параллельны, их нормальные векторы \(\vec{n}_\alpha\) и \(\vec{n}_\beta\) коллинеарны, то есть \(\vec{n}_\alpha = k \cdot \vec{n}_\beta\), где \(k\) — некоторый коэффициент.
Пусть точка B лежит на прямой \(l\). Тогда её радиус-вектор \(\vec{r}_B\) можно представить в виде \(\vec{r}_B = \vec{r}_A + t \cdot \vec{n}_\beta\).
Так как точка B лежит в плоскости α, её радиус-вектор \(\vec{r}_B\) удовлетворяет уравнению плоскости α: \(\vec{n}_\alpha \cdot \vec{r}_B = \vec{n}_\alpha \cdot \vec{r}_A\).
Подставляя выражение для \(\vec{r}_B\), получаем:
\(\vec{n}_\alpha \cdot (\vec{r}_A + t \cdot \vec{n}_\beta) = \vec{n}_\alpha \cdot \vec{r}_A\)
\(k \cdot \vec{n}_\beta \cdot (\vec{r}_A + t \cdot \vec{n}_\beta) = \vec{n}_\alpha \cdot \vec{r}_A\)
\(k \cdot (\vec{n}_\beta \cdot \vec{r}_A + t \cdot \vec{n}_\beta \cdot \vec{n}_\beta) = \vec{n}_\alpha \cdot \vec{r}_A\)
\(k \cdot (\vec{n}_\beta \cdot \vec{r}_A) = \vec{n}_\alpha \cdot \vec{r}_A\)
\(t \cdot \vec{n}_\beta \cdot \vec{n}_\beta = 0\)
Последнее равенство выполняется, так как \(\vec{n}_\beta \cdot \vec{n}_\beta = 1\). Таким образом, \(t = 0\), и прямая \(l\) лежит в плоскости α.
Следовательно, любая прямая, проходящая через точку A и параллельная плоскости β, лежит в плоскости α.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.