Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 51 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что плоскости α и β параллельны, если две пересекающиеся прямые т и п плоскости α параллельны плоскости β.
Пусть плоскость α задана уравнением \(Ax + By + Cz + D = 0\), а плоскость β — уравнением \(A’x + B’y + C’z + D’ = 0\) с нормальными векторами \(\vec{n}_\alpha = (A, B, C)\) и \(\vec{n}_\beta = (A’, B’, C’)\) соответственно. Если две пересекающиеся прямые m и n плоскости α параллельны плоскости β, то их векторное произведение \(\vec{m} \times \vec{n}\) перпендикулярно как плоскости α, так и плоскости β. Следовательно, \(\vec{n}_\alpha\) и \(\vec{n}_\beta\) пропорциональны, что доказывает параллельность плоскостей α и β.
Для доказательства того, что плоскости α и β параллельны, если две пересекающиеся прямые m и n плоскости α параллельны плоскости β, воспользуемся следующими рассуждениями:
Пусть плоскость α задана уравнением \(Ax + By + Cz + D = 0\), а плоскость β задана уравнением \(A’x + B’y + C’z + D’ = 0\). Тогда нормальные векторы к этим плоскостям будут равны \(\vec{n}_\alpha = (A, B, C)\) и \(\vec{n}_\beta = (A’, B’, C’)\) соответственно.
Так как две пересекающиеся прямые m и n плоскости α параллельны плоскости β, то они лежат в плоскости β. Следовательно, векторы, параллельные этим прямым, также лежат в плоскости β. Обозначим эти векторы как \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\).
Поскольку \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) лежат в плоскости β, их векторное произведение \(\vec{m} \times \vec{n}\) будет перпендикулярно плоскости β, то есть параллельно нормальному вектору \(\vec{n}_\beta\). Таким образом, мы имеем:
\(\vec{m} \times \vec{n} = k \cdot \vec{n}_\beta\)
где \(k\) — некоторый коэффициент пропорциональности.
С другой стороны, так как прямые m и n лежат в плоскости α, их векторное произведение \(\vec{m} \times \vec{n}\) будет перпендикулярно плоскости α, то есть параллельно нормальному вектору \(\vec{n}_\alpha\). Следовательно:
\(\vec{m} \times \vec{n} = l \cdot \vec{n}_\alpha\)
где \(l\) — некоторый коэффициент пропорциональности.
Приравнивая правые части двух последних уравнений, получаем:
\(l \cdot \vec{n}_\alpha = k \cdot \vec{n}_\beta\)
Отсюда следует, что векторы \(\vec{n}_\alpha\) и \(\vec{n}_\beta\) пропорциональны, а значит, плоскости α и β параллельны.
Таким образом, мы доказали, что если две пересекающиеся прямые m и n плоскости α параллельны плоскости β, то плоскости α и β также параллельны.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.