Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 50 Атанасян — Подробные Ответы
Плоскости α и β параллельны, прямая т лежит в плоскости α.
Докажите, что прямая т параллельна плоскости β.
Так как плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, их нормальные векторы \(\vec{n_\alpha}\) и \(\vec{n_\beta}\) пропорциональны: \(\vec{n_\alpha} = k \cdot \vec{n_\beta}\). Прямая \(m\) лежит в плоскости \(\alpha\), следовательно, её направляющий вектор \(\vec{d_m}\) ортогонален \(\vec{n_\alpha}\). Отсюда следует, что \(\vec{d_m}\) ортогонален и \(\vec{n_\beta}\), что означает параллельность прямой \(m\) и плоскости \(\beta\).
Пусть плоскость α задана уравнением \(m \cdot x + n \cdot y + p \cdot z + q = 0\), а плоскость β задана уравнением \(m’ \cdot x + n’ \cdot y + p’ \cdot z + q’ = 0\). Так как плоскости α и β параллельны, то их нормальные векторы \(\vec{n_\alpha} = (m, n, p)\) и \(\vec{n_\beta} = (m’, n’, p’)\) пропорциональны, то есть \(\vec{n_\alpha} = k \cdot \vec{n_\beta}\) для некоторого коэффициента \(k\).
Прямая \(m\) лежит в плоскости α, следовательно, её направляющий вектор \(\vec{d_m} = (a, b, c)\) ортогонален нормальному вектору \(\vec{n_\alpha}\) плоскости α. Таким образом, \(\vec{d_m} \cdot \vec{n_\alpha} = 0\), или \(a \cdot m + b \cdot n + c \cdot p = 0\).
Так как \(\vec{n_\alpha} = k \cdot \vec{n_\beta}\), то \(\vec{d_m} \cdot \vec{n_\beta} = 0\), то есть прямая \(m\) параллельна плоскости β. Следовательно, доказано, что прямая \(m\) параллельна плоскости β.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.