Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 5 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что через три данные точки, лежащие на прямой, проходит плоскость. Сколько существует таких плоскостей?
Пусть три точки \(A(x_1, y_1, z_1)\), \(B(x_2, y_2, z_2)\) и \(C(x_3, y_3, z_3)\) лежат на одной прямой. Это означает, что векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) линейно зависимы:
\(
\overrightarrow{AC} = \lambda \cdot \overrightarrow{AB}, \quad \lambda \in \mathbb{R}.
\)
Через любую прямую можно провести бесконечно много плоскостей, так как плоскость может быть повернута вокруг прямой. Таким образом, через три точки, лежащие на одной прямой, проходит бесконечно много плоскостей.
Для доказательства того, что через три данные точки, лежащие на прямой, проходит плоскость, начнем с определения свойств точки, прямой и плоскости в трёхмерном пространстве.
Пусть заданы три точки \(A(x_1, y_1, z_1)\), \(B(x_2, y_2, z_2)\) и \(C(x_3, y_3, z_3)\), которые лежат на одной прямой. Это означает, что векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) коллинеарны. Коллинеарность векторов выражается как линейная зависимость. То есть существует такое число \(\lambda \in \mathbb{R}\), что:
\(
\overrightarrow{AC} = \lambda \cdot \overrightarrow{AB}.
\)
Рассмотрим плоскость. Плоскость в трёхмерном пространстве однозначно задаётся точкой и двумя линейно независимыми векторами, принадлежащими этой плоскости. Однако если три точки \(A\), \(B\), \(C\) лежат на одной прямой, то векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) линейно зависимы, и они не могут образовать базис для описания плоскости.
Тем не менее, определение плоскости допускает, что через любую прямую проходит бесконечно много плоскостей, так как каждая плоскость, содержащая прямую, может быть повернута вокруг неё. Следовательно, через три точки, лежащие на одной прямой, можно провести бесконечно много различных плоскостей.
Теперь формализуем это утверждение.
1. Пусть уравнение плоскости имеет вид:
\(
ax + by + cz + d = 0,
\)
где \(a, b, c, d \in \mathbb{R}\), причем хотя бы один из коэффициентов \(a, b, c\) отличен от нуля.
2. Точки \(A(x_1, y_1, z_1)\), \(B(x_2, y_2, z_2)\), \(C(x_3, y_3, z_3)\) лежат на прямой. Это значит, что для любых двух точек \(A\) и \(B\) вектор \(\overrightarrow{AB}\) параллелен вектору \(\overrightarrow{AC}\), а значит, выполняется равенство:
\(
\frac{x_3 — x_1}{x_2 — x_1} = \frac{y_3 — y_1}{y_2 — y_1} = \frac{z_3 — z_1}{z_2 — z_1}.
\)
3. Любая плоскость, содержащая прямую, заданную точками \(A\), \(B\), \(C\), должна содержать все точки этой прямой. Это означает, что уравнение плоскости будет удовлетворяться для всех точек прямой.
4. Для построения плоскости можно взять любую точку прямой, например \(A(x_1, y_1, z_1)\), и добавить любое направление, не совпадающее с направлением прямой. Так как через прямую проходит бесконечно много плоскостей, количество таких плоскостей — бесконечно.
Таким образом, доказано, что через три данные точки, лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и таких плоскостей существует бесконечно много.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.