ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 46 Атанасян — Подробные Ответы

Докажите, что середины сторон пространственного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Дано: четырехугольник ABCD является пространственным, AE = EB, BF = FC, CG = GD, DH = HA. Требуется доказать, что середины сторон EFGH образуют параллелограмм.

Доказательство: Рассмотрим треугольники ΔADC и ΔBAC. Согласно теореме о средней линии треугольника, \(HG = \frac{AC}{2}\) и \(EF = \frac{AC}{2}\), следовательно, HG = EF. Аналогично можно показать, что EH = FG, то есть противоположные стороны четырехугольника EFGH равны. Кроме того, HG || AC и EF || AC, значит, HG || EF и EH || FG, то есть противоположные стороны параллельны. Таким образом, EFGH является параллелограммом.

Чтобы доказать, что середины сторон пространственного четырехугольника ABCD являются вершинами параллелограмма EFGH, необходимо показать, что противоположные стороны параллелограмма EFGH равны и параллельны.

Дано:
— Четырехугольник ABCD является пространственным.
— AE = EB, BF = FC, CG = GD, DH = HA.

Рассмотрим два треугольника: ΔADC и ΔBAC. По построению, средние линии HG и EF этих треугольников являются параллельными. Согласно теореме о средней линии треугольника, средняя линия равна половине основания, то есть \(HG = \frac{AC}{2}\) и \(EF = \frac{AC}{2}\). Следовательно, \(HG = EF\).

Аналогично, можно показать, что \(EF = HG\) и \(EH = FG\). Таким образом, противоположные стороны четырехугольника EFGH равны.

Чтобы доказать, что противоположные стороны параллельны, рассмотрим две пары параллельных прямых: HG || AC и EF || AC. Согласно свойству параллельных прямых, если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой. Следовательно, HG || EF и EH || FG.

Таким образом, мы доказали, что противоположные стороны четырехугольника EFGH равны и параллельны, что и требовалось доказать.