Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 438 Атанасян — Подробные Ответы
Цилиндр вписан в сферу (т. е. основания цилиндра являются сечениями сферы, рис. 130, а). Найдите отношение площади полной поверхности цилиндра к площади сферы, если высота цилиндра равна диаметру основания.
Рассмотрим осевое сечение. Высота цилиндра равна диаметру основания, следовательно, осевое сечение — квадрат со стороной \(a\). Диагональ этого квадрата равна диаметру сферы, т.е. \(2R = a\sqrt{2}\), откуда радиус сферы \(R = \frac{a\sqrt{2}}{2}\). Площадь сферы \(S_{сф} = 4\pi R^2 = 4\pi \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 2\pi a^2\). Радиус основания цилиндра равен \(\frac{a}{2}\), высота — \(a\). Площадь боковой поверхности цилиндра \(S_{бок} = 2\pi \cdot \frac{a}{2} \cdot a = \pi a^2\). Площадь основания цилиндра \(S_{осн} = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{4}\). Полная площадь поверхности цилиндра \(S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = \pi a^2 + 2 \cdot \frac{\pi a^2}{4} = \frac{3\pi a^2}{2}\). Отношение площади полной поверхности цилиндра к площади сферы равно \(\frac{S_{полн}}{S_{сф}} = \frac{\frac{3\pi a^2}{2}}{2\pi a^2} = \frac{3}{4}\).
Рассмотрим осевое сечение данного тела. Поскольку высота цилиндра равна его образующей, а образующая равна диаметру основания, то осевым сечением цилиндра, вписанного в сферу таким образом, является квадрат. Обозначим сторону этого квадрата как \(a\). Таким образом, высота цилиндра равна \(a\), а диаметр основания цилиндра также равен \(a\). Радиус основания цилиндра, соответственно, равен \(\frac{a}{2}\).
Диагональ осевого сечения (квадрата) является диаметром сферы. В прямоугольном треугольнике, образованном двумя сторонами квадрата и его диагональю, по теореме Пифагора квадрат диагонали равен сумме квадратов сторон: \(диагональ^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\). Следовательно, диагональ равна \(\sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}\).
Пусть \(R\) — радиус сферы. Диаметр сферы равен диагонали квадрата, поэтому \(2R = a\sqrt{2}\). Отсюда находим радиус сферы: \(R = \frac{a\sqrt{2}}{2}\).
Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле \(S_{сф} = 4\pi R^2\). Подставляя значение \(R\), получаем \(S_{сф} = 4\pi \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 4\pi \left(\frac{a^2 \cdot 2}{4}\right) = 4\pi \frac{2a^2}{4} = 4\pi \frac{a^2}{2} = 2\pi a^2\).
Теперь вычислим площадь полной поверхности цилиндра. Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту: \(S_{бок} = 2\pi \cdot радиус_{осн} \cdot высота\). Радиус основания цилиндра равен \(\frac{a}{2}\), высота равна \(a\). Значит, \(S_{бок} = 2\pi \cdot \frac{a}{2} \cdot a = \pi a^2\).
Площадь основания цилиндра (круг) вычисляется по формуле \(S_{осн} = \pi \cdot радиус_{осн}^2\). Радиус основания цилиндра равен \(\frac{a}{2}\), поэтому \(S_{осн} = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \pi \frac{a^2}{4}\).
Полная площадь поверхности цилиндра состоит из площади боковой поверхности и площадей двух оснований: \(S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}\). Подставляя найденные значения, получаем \(S_{полн} = \pi a^2 + 2 \cdot \frac{\pi a^2}{4} = \pi a^2 + \frac{2\pi a^2}{4} = \pi a^2 + \frac{\pi a^2}{2}\). Приводя к общему знаменателю, имеем \(S_{полн} = \frac{2\pi a^2}{2} + \frac{\pi a^2}{2} = \frac{3\pi a^2}{2}\).
Наконец, найдем отношение площади полной поверхности цилиндра к площади сферы: \(\frac{S_{полн}}{S_{сф}} = \frac{\frac{3\pi a^2}{2}}{2\pi a^2}\). Для упрощения дроби умножим числитель и знаменатель на 2: \(\frac{3\pi a^2}{2 \cdot 2\pi a^2} = \frac{3\pi a^2}{4\pi a^2}\). Сокращая \(\pi a^2\), получаем \(\frac{3}{4}\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.