ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 438 Атанасян — Подробные Ответы

Цилиндр вписан в сферу (т. е. основания цилиндра являются сечениями сферы, рис. 130, а). Найдите отношение площади полной поверхности цилиндра к площади сферы, если высота цилиндра равна диаметру основания.

Рассмотрим осевое сечение. Высота цилиндра равна диаметру основания, следовательно, осевое сечение — квадрат со стороной \(a\). Диагональ этого квадрата равна диаметру сферы, т.е. \(2R = a\sqrt{2}\), откуда радиус сферы \(R = \frac{a\sqrt{2}}{2}\). Площадь сферы \(S_{сф} = 4\pi R^2 = 4\pi \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 2\pi a^2\). Радиус основания цилиндра равен \(\frac{a}{2}\), высота — \(a\). Площадь боковой поверхности цилиндра \(S_{бок} = 2\pi \cdot \frac{a}{2} \cdot a = \pi a^2\). Площадь основания цилиндра \(S_{осн} = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{4}\). Полная площадь поверхности цилиндра \(S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = \pi a^2 + 2 \cdot \frac{\pi a^2}{4} = \frac{3\pi a^2}{2}\). Отношение площади полной поверхности цилиндра к площади сферы равно \(\frac{S_{полн}}{S_{сф}} = \frac{\frac{3\pi a^2}{2}}{2\pi a^2} = \frac{3}{4}\).

Рассмотрим осевое сечение данного тела. Поскольку высота цилиндра равна его образующей, а образующая равна диаметру основания, то осевым сечением цилиндра, вписанного в сферу таким образом, является квадрат. Обозначим сторону этого квадрата как \(a\). Таким образом, высота цилиндра равна \(a\), а диаметр основания цилиндра также равен \(a\). Радиус основания цилиндра, соответственно, равен \(\frac{a}{2}\).

Диагональ осевого сечения (квадрата) является диаметром сферы. В прямоугольном треугольнике, образованном двумя сторонами квадрата и его диагональю, по теореме Пифагора квадрат диагонали равен сумме квадратов сторон: \(диагональ^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\). Следовательно, диагональ равна \(\sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}\).

Пусть \(R\) — радиус сферы. Диаметр сферы равен диагонали квадрата, поэтому \(2R = a\sqrt{2}\). Отсюда находим радиус сферы: \(R = \frac{a\sqrt{2}}{2}\).

Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле \(S_{сф} = 4\pi R^2\). Подставляя значение \(R\), получаем \(S_{сф} = 4\pi \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 4\pi \left(\frac{a^2 \cdot 2}{4}\right) = 4\pi \frac{2a^2}{4} = 4\pi \frac{a^2}{2} = 2\pi a^2\).

Теперь вычислим площадь полной поверхности цилиндра. Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту: \(S_{бок} = 2\pi \cdot радиус_{осн} \cdot высота\). Радиус основания цилиндра равен \(\frac{a}{2}\), высота равна \(a\). Значит, \(S_{бок} = 2\pi \cdot \frac{a}{2} \cdot a = \pi a^2\).

Площадь основания цилиндра (круг) вычисляется по формуле \(S_{осн} = \pi \cdot радиус_{осн}^2\). Радиус основания цилиндра равен \(\frac{a}{2}\), поэтому \(S_{осн} = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \pi \frac{a^2}{4}\).

Полная площадь поверхности цилиндра состоит из площади боковой поверхности и площадей двух оснований: \(S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}\). Подставляя найденные значения, получаем \(S_{полн} = \pi a^2 + 2 \cdot \frac{\pi a^2}{4} = \pi a^2 + \frac{2\pi a^2}{4} = \pi a^2 + \frac{\pi a^2}{2}\). Приводя к общему знаменателю, имеем \(S_{полн} = \frac{2\pi a^2}{2} + \frac{\pi a^2}{2} = \frac{3\pi a^2}{2}\).

Наконец, найдем отношение площади полной поверхности цилиндра к площади сферы: \(\frac{S_{полн}}{S_{сф}} = \frac{\frac{3\pi a^2}{2}}{2\pi a^2}\). Для упрощения дроби умножим числитель и знаменатель на 2: \(\frac{3\pi a^2}{2 \cdot 2\pi a^2} = \frac{3\pi a^2}{4\pi a^2}\). Сокращая \(\pi a^2\), получаем \(\frac{3}{4}\).