ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 434 Атанасян — Подробные Ответы

В правильной четырёхугольной пирамиде радиусы вписанной и описанной сфер равны 2 см и 5 см. Найдите сторону основания и высоту пирамиды.

Из условия известно, что радиус вписанной сферы \(r=2\) и радиус описанной сферы \(R=5\). Для правильной четырёхугольной пирамиды связь между высотой \(h\), стороной основания \(a\) и радиусом описанной сферы \(R\) выражается соотношением \(R^2 = (R-h)^2 + (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2\), что приводит к \(a^2 = 2h(10-h)\). Связь между радиусом вписанной сферы \(r\), высотой \(h\) и стороной основания \(a\) выражается соотношением \(r = \frac{a}{2} \tan(\frac{\alpha}{2})\), где \(\alpha\) — угол между боковой гранью и основанием. Это приводит к уравнению \(a\sqrt{4h^2+a^2} — a^2 = 8h\). Решая систему уравнений \(\begin{cases} a^2 = 2h(10-h) \\ a\sqrt{4h^2+a^2} — a^2 = 8h \end{cases}\) относительно \(h\), получаем квадратное уравнение \(h^2 — 14h + 48 = 0\). Корни этого уравнения дают два возможных значения высоты: \(h_1 = 8\) и \(h_2 = 6\). Подставляя эти значения в уравнение для \(a^2\), находим соответствующие стороны основания: при \(h_1 = 8\), \(a_1^2 = 2(8)(10-8) = 32\), откуда \(a_1 = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\); при \(h_2 = 6\), \(a_2^2 = 2(6)(10-6) = 48\), откуда \(a_2 = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\). Таким образом, существуют два набора решений: высота \(h=8\) и сторона основания \(a=4\sqrt{2}\), или высота \(h=6\) и сторона основания \(a=4\sqrt{3}\).

Нам дано, что радиус вписанной сферы правильной четырёхугольной пирамиды равен \(r=2\), а радиус описанной сферы равен \(R=5\). Высота пирамиды обозначена через \(h\), а сторона основания через \(a\).

Для описанной сферы, центр которой совпадает с серединой отрезка, соединяющего вершину пирамиды с точкой на диаметре сферы под центром основания, радиус \(R\) связан с высотой \(h\) и половиной диагонали основания \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\) соотношением, следующим из теоремы Пифагора. Расстояние от центра описанной сферы до центра основания равно \(|h-R|\). Тогда \(R^2 = (h-R)^2 + (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2\). Подставляя \(R=5\), получаем \(5^2 = (h-5)^2 + \frac{2a^2}{4}\), что упрощается до \(25 = h^2 — 10h + 25 + \frac{a^2}{2}\). Отсюда следует \(0 = h^2 — 10h + \frac{a^2}{2}\), или \(\frac{a^2}{2} = 10h — h^2\), что даёт первое уравнение системы: \(a^2 = 2h(10-h)\).

Для вписанной сферы, центр которой лежит на высоте пирамиды, радиус \(r\) связан с высотой \(h\) и стороной основания \(a\). Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту и апофему боковой грани. В этом сечении виден треугольник с высотой \(h\), половиной стороны основания \(\frac{a}{2}\) и апофемой боковой грани \(L\). Апофема \(L = \sqrt{h^2 + (\frac{a}{2})^2}\). Угол между боковой гранью и основанием обозначим через \(\alpha\). В прямоугольном треугольнике, образованном высотой \(h\), половиной стороны основания \(\frac{a}{2}\) и апофемой \(L\), имеем \(\sin \alpha = \frac{h}{L} = \frac{h}{\sqrt{h^2 + a^2/4}}\) и \(\cos \alpha = \frac{a/2}{L} = \frac{a/2}{\sqrt{h^2 + a^2/4}} = \frac{a}{\sqrt{4h^2 + a^2}}\). Центр вписанной сферы является точкой пересечения высоты пирамиды и биссектрисы угла \(\alpha\). Расстояние от центра вписанной сферы до основания равно \(r\). В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом вписанной сферы \(r\), половиной стороны основания \(\frac{a}{2}\) и отрезком биссектрисы, тангенс половины угла \(\alpha\) равен \(\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{r}{a/2} = \frac{2r}{a}\). Используя формулу тангенса половинного угла \(\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 — \cos \alpha}{\sin \alpha}\), подставляем выражения для \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\):
\(\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 — \frac{a}{\sqrt{4h^2 + a^2}}}{\frac{h}{\sqrt{h^2 + a^2/4}}} = \frac{\frac{\sqrt{4h^2 + a^2} — a}{\sqrt{4h^2 + a^2}}}{\frac{2h}{\sqrt{4h^2 + a^2}}} = \frac{\sqrt{4h^2 + a^2} — a}{2h}\).
Приравнивая два выражения для \(\tan(\frac{\alpha}{2})\) и подставляя \(r=2\), получаем \(\frac{2(2)}{a} = \frac{\sqrt{4h^2 + a^2} — a}{2h}\).
\(\frac{4}{a} = \frac{\sqrt{4h^2 + a^2} — a}{2h}\).
\(8h = a(\sqrt{4h^2 + a^2} — a)\).
\(8h = a\sqrt{4h^2 + a^2} — a^2\).
Это даёт второе уравнение системы: \(a\sqrt{4h^2 + a^2} — a^2 = 8h\).

Получили систему уравнений:
1. \(a^2 = 2h(10-h)\)
2. \(a\sqrt{4h^2 + a^2} — a^2 = 8h\)

Подставим \(a^2\) из первого уравнения во второе:
\(a\sqrt{4h^2 + 2h(10-h)} — 2h(10-h) = 8h\)
\(a\sqrt{4h^2 + 20h — 2h^2} — 20h + 2h^2 = 8h\)
\(a\sqrt{2h^2 + 20h} = 28h — 2h^2\)
\(a\sqrt{2h(h + 10)} = 2h(14 — h)\)
Подставим \(a = \sqrt{2h(10-h)}\) из первого уравнения:
\(\sqrt{2h(10-h)} \sqrt{2h(h + 10)} = 2h(14 — h)\)
\(\sqrt{4h^2(10-h)(10+h)} = 2h(14 — h)\)
\(\sqrt{4h^2(100 — h^2)} = 2h(14 — h)\)
При условии \(h > 0\), \(\sqrt{4h^2} = 2h\).
\(2h\sqrt{100 — h^2} = 2h(14 — h)\)
При условии \(h \neq 0\), делим на \(2h\):
\(\sqrt{100 — h^2} = 14 — h\)
Возводим обе части в квадрат:
\(100 — h^2 = (14 — h)^2\)
\(100 — h^2 = 196 — 28h + h^2\)
\(0 = 2h^2 — 28h + 96\)
Делим на 2:
\(h^2 — 14h + 48 = 0\)

Решаем квадратное уравнение относительно \(h\) с помощью формулы корней: \(h = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}\).
\(h = \frac{14 \pm \sqrt{(-14)^2 — 4(1)(48)}}{2(1)}\)
\(h = \frac{14 \pm \sqrt{196 — 192}}{2}\)
\(h = \frac{14 \pm \sqrt{4}}{2}\)
\(h = \frac{14 \pm 2}{2}\)
Получаем два возможных значения высоты:
\(h_1 = \frac{14 + 2}{2} = \frac{16}{2} = 8\)
\(h_2 = \frac{14 — 2}{2} = \frac{12}{2} = 6\)

Теперь найдём соответствующие значения стороны основания \(a\) для каждого значения \(h\), используя уравнение \(a^2 = 2h(10-h)\).
При \(h_1 = 8\):
\(a_1^2 = 2(8)(10-8) = 16(2) = 32\)
\(a_1 = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}\)

При \(h_2 = 6\):
\(a_2^2 = 2(6)(10-6) = 12(4) = 48\)
\(a_2 = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}\)

Таким образом, существуют два возможных решения для высоты и стороны основания пирамиды: либо высота \(h=8\) и сторона основания \(a=4\sqrt{2}\), либо высота \(h=6\) и сторона основания \(a=4\sqrt{3}\).