Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 424 Атанасян — Подробные Ответы
В усечённый конус вписана правильная усечённая n-угольная пирамида (т. е. основания пирамиды вписаны в основания усечённого конуса). Радиусы оснований усечённого конуса равны 2 см и 5 см, а высота равна 4 см. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды при: а) \(n = 3\); б) \(n = 4\); в) \(n = 6\).
а) При \(n=3\), основаниями являются правильные треугольники. Сторона нижнего основания \(a = 5\sqrt{3}\), сторона верхнего основания \(b = 2\sqrt{3}\). Площадь нижнего основания \(S_{нижн} = \frac{(5\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{75\sqrt{3}}{4}\), площадь верхнего основания \(S_{верхн} = \frac{(2\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{12\sqrt{3}}{4}\). Апофема нижнего основания \(y = \frac{5\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{5}{2}\), апофема верхнего основания \(x = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 1\). Высота боковой грани (трапеции) \(h_{трап} = \sqrt{4^2 + (\frac{5}{2}-1)^2} = \sqrt{16 + (\frac{3}{2})^2} = \sqrt{16 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{73}{4}} = \frac{\sqrt{73}}{2}\). Площадь боковой поверхности \(S_{бок} = 3 \cdot \frac{5\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{73}}{2} = \frac{21\sqrt{3}\sqrt{73}}{4}\). Полная площадь поверхности \(S_{полн} = \frac{21\sqrt{219}}{4} + \frac{75\sqrt{3}}{4} + \frac{12\sqrt{3}}{4} = \frac{21\sqrt{219} + 87\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4}(7\sqrt{73} + 29)\).
б) При \(n=4\), основаниями являются квадраты. Сторона нижнего основания \(a = 5\sqrt{2}\), сторона верхнего основания \(b = 2\sqrt{2}\). Площадь нижнего основания \(S_{нижн} = (5\sqrt{2})^2 = 50\), площадь верхнего основания \(S_{верхн} = (2\sqrt{2})^2 = 8\). Апофема нижнего основания \(y = \frac{5\sqrt{2}}{2}\), апофема верхнего основания \(x = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\). Высота боковой грани \(h_{трап} = \sqrt{4^2 + (\frac{5\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2})^2} = \sqrt{16 + (\frac{3\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{16 + \frac{18}{4}} = \)
\(=\sqrt{16 + \frac{9}{2}} = \sqrt{\frac{41}{2}} = \frac{\sqrt{82}}{2}\). Площадь боковой поверхности \(S_{бок} = 4 \cdot \frac{5\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{82}}{2} = 4 \cdot \frac{7\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{82}}{2} = 7\sqrt{2}\sqrt{82} = 7\sqrt{164} = 14\sqrt{41}\). Полная площадь поверхности \(S_{полн} = 14\sqrt{41} + 50 + 8 = 58 + 14\sqrt{41}\).
в) При \(n=6\), основаниями являются правильные шестиугольники. Сторона нижнего основания \(a = 5\), сторона верхнего основания \(b = 2\). Площадь нижнего основания \(S_{нижн} = 6 \cdot \frac{5^2\sqrt{3}}{4} = \frac{75\sqrt{3}}{2}\), площадь верхнего основания \(S_{верхн} = 6 \cdot \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = 6\sqrt{3}\). Апофема нижнего основания \(y = \frac{5\sqrt{3}}{2}\), апофема верхнего основания \(x = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\). Высота боковой грани \(h_{трап} = \sqrt{4^2 + (\frac{5\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + (\frac{3\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{16 + \frac{27}{4}} = \sqrt{\frac{91}{4}} = \frac{\sqrt{91}}{2}\). Площадь боковой поверхности \(S_{бок} = 6 \cdot \frac{5+2}{2} \cdot \frac{\sqrt{91}}{2} = 6 \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{\sqrt{91}}{2} = \frac{21\sqrt{91}}{2}\). Полная площадь поверхности \(S_{полн} = \frac{21\sqrt{91}}{2} + \frac{75\sqrt{3}}{2} + 6\sqrt{3} = \frac{21\sqrt{91} + 87\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}(7\sqrt{91} + 29\sqrt{3})\).
Рассмотрим усечённый конус с радиусами оснований \(R=5\) см и \(r=2\) см и высотой \(h=4\) см. В этот конус вписана правильная усечённая n-угольная пирамида, что означает, что основания пирамиды являются правильными n-угольниками, вписанными в основания конуса. Высота усечённой пирамиды равна высоте усечённого конуса, то есть 4 см.
а) Случай, когда \(n=3\). Основаниями пирамиды являются правильные треугольники. Радиусы оснований конуса являются радиусами описанных окружностей для этих треугольников. Для правильного треугольника со стороной \(s\), радиус описанной окружности \(R_{оп} = \frac{s}{\sqrt{3}}\).
Для нижнего основания радиус описанной окружности \(R=5\), поэтому сторона нижнего треугольника \(a = R\sqrt{3} = 5\sqrt{3}\) см. Площадь нижнего основания \(S_{нижн} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}(5\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 75 = \frac{75\sqrt{3}}{4}\) см².
Для верхнего основания радиус описанной окружности \(r=2\), поэтому сторона верхнего треугольника \(b = r\sqrt{3} = 2\sqrt{3}\) см. Площадь верхнего основания \(S_{верхн} = \frac{\sqrt{3}}{4}b^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}(2\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 12 = 3\sqrt{3} = \frac{12\sqrt{3}}{4}\) см².
Боковые грани усечённой пирамиды являются равными равнобедренными трапециями. Параллельные стороны этих трапеций равны сторонам оснований пирамиды, то есть \(a\) и \(b\). Для нахождения площади боковой поверхности необходимо вычислить высоту этих трапеций (апофему боковой грани). Апофема основания для правильного треугольника равна радиусу вписанной окружности, который составляет половину радиуса описанной окружности. Апофема нижнего основания \(y = \frac{R}{2} = \frac{5}{2}\) см. Апофема верхнего основания \(x = \frac{r}{2} = \frac{2}{2} = 1\) см. Высота боковой грани \(h_{трап}\) может быть найдена как гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами, равными высоте усечённой пирамиды \(h=4\) и разности апофем оснований \(y-x\). \(h_{трап} = \sqrt{h^2 + (y-x)^2} = \sqrt{4^2 + (\frac{5}{2}-1)^2} = \sqrt{16 + (\frac{3}{2})^2} = \sqrt{16 + \frac{9}{4}} =\)
\(= \sqrt{\frac{64+9}{4}} = \sqrt{\frac{73}{4}} = \frac{\sqrt{73}}{2}\) см.
Площадь одной боковой грани (трапеции) равна \(\frac{a+b}{2} \cdot h_{трап} = \frac{5\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{73}}{2} = \frac{7\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{73}}{2} = \frac{7\sqrt{219}}{4}\) см².
Всего боковых граней 3, поэтому площадь боковой поверхности \(S_{бок} = 3 \cdot \frac{7\sqrt{219}}{4} = \frac{21\sqrt{219}}{4}\) см².
Полная площадь поверхности усечённой пирамиды равна сумме площадей оснований и площади боковой поверхности: \(S_{полн} = S_{нижн} + S_{верхн} + S_{бок} = \frac{75\sqrt{3}}{4} + \frac{12\sqrt{3}}{4} + \frac{21\sqrt{219}}{4} = \frac{87\sqrt{3} + 21\sqrt{219}}{4} = \)
\(=\frac{3\sqrt{3}(29 + 7\sqrt{73})}{4}\) см².
б) Случай, когда \(n=4\). Основаниями пирамиды являются квадраты. Для квадрата со стороной \(s\), радиус описанной окружности \(R_{оп} = \frac{s}{\sqrt{2}}\).
Для нижнего основания радиус описанной окружности \(R=5\), поэтому сторона нижнего квадрата \(a = R\sqrt{2} = 5\sqrt{2}\) см. Площадь нижнего основания \(S_{нижн} = a^2 = (5\sqrt{2})^2 = 50\) см².
Для верхнего основания радиус описанной окружности \(r=2\), поэтому сторона верхнего квадрата \(b = r\sqrt{2} = 2\sqrt{2}\) см. Площадь верхнего основания \(S_{верхн} = b^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8\) см².
Апофема основания для квадрата равна половине стороны. Апофема нижнего основания \(y = \frac{a}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}\) см. Апофема верхнего основания \(x = \frac{b}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\) см. Высота боковой грани \(h_{трап} = \sqrt{h^2 + (y-x)^2} = \sqrt{4^2 + (\frac{5\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2})^2} = \sqrt{16 + (\frac{3\sqrt{2}}{2})^2} = \)
\(=\sqrt{16 + \frac{18}{4}} = \sqrt{16 + \frac{9}{2}} = \sqrt{\frac{32+9}{2}} = \sqrt{\frac{41}{2}} = \frac{\sqrt{82}}{2}\) см.
Площадь одной боковой грани (трапеции) равна \(\frac{a+b}{2} \cdot h_{трап} = \frac{5\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{82}}{2} = \frac{7\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{82}}{2} = \frac{7\sqrt{164}}{4} = \frac{7 \cdot 2\sqrt{41}}{4} = \frac{7\sqrt{41}}{2}\) см².
Всего боковых граней 4, поэтому площадь боковой поверхности \(S_{бок} = 4 \cdot \frac{7\sqrt{41}}{2} = 14\sqrt{41}\) см².
Полная площадь поверхности усечённой пирамиды равна сумме площадей оснований и площади боковой поверхности: \(S_{полн} = S_{нижн} + S_{верхн} + S_{бок} = 50 + 8 + 14\sqrt{41} = 58 + 14\sqrt{41}\) см².
в) Случай, когда \(n=6\). Основаниями пирамиды являются правильные шестиугольники. Для правильного шестиугольника со стороной \(s\), радиус описанной окружности \(R_{оп} = s\).
Для нижнего основания радиус описанной окружности \(R=5\), поэтому сторона нижнего шестиугольника \(a = R = 5\) см. Площадь нижнего основания \(S_{нижн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 5^2 = \frac{75\sqrt{3}}{2}\) см².
Для верхнего основания радиус описанной окружности \(r=2\), поэтому сторона верхнего шестиугольника \(b = r = 2\) см. Площадь верхнего основания \(S_{верхн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}b^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 2^2 = 6\sqrt{3}\) см².
Апофема основания для правильного шестиугольника равна радиусу вписанной окружности, который составляет \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) от стороны. Апофема нижнего основания \(y = \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 5 = \frac{5\sqrt{3}}{2}\) см. Апофема верхнего основания \(x = \frac{\sqrt{3}}{2}b = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 = \sqrt{3}\) см. Высота боковой грани \(h_{трап} = \sqrt{h^2 + (y-x)^2} = \sqrt{4^2 + (\frac{5\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + (\frac{3\sqrt{3}}{2})^2} = \)
\(=\sqrt{16 + \frac{27}{4}} = \sqrt{\frac{64+27}{4}} = \sqrt{\frac{91}{4}} = \frac{\sqrt{91}}{2}\) см.
Площадь одной боковой грани (трапеции) равна \(\frac{a+b}{2} \cdot h_{трап} = \frac{5+2}{2} \cdot \frac{\sqrt{91}}{2} = \frac{7}{2} \cdot \frac{\sqrt{91}}{2} = \frac{7\sqrt{91}}{4}\) см².
Всего боковых граней 6, поэтому площадь боковой поверхности \(S_{бок} = 6 \cdot \frac{7\sqrt{91}}{4} = \frac{42\sqrt{91}}{4} = \frac{21\sqrt{91}}{2}\) см².
Полная площадь поверхности усечённой пирамиды равна сумме площадей оснований и площади боковой поверхности: \(S_{полн} = S_{нижн} + S_{верхн} + S_{бок} = \frac{75\sqrt{3}}{2} + 6\sqrt{3} + \frac{21\sqrt{91}}{2} = \frac{75\sqrt{3} + 12\sqrt{3} + 21\sqrt{91}}{2} =\)
\(= \frac{87\sqrt{3} + 21\sqrt{91}}{2} = \frac{3}{2}(29\sqrt{3} + 7\sqrt{91})\) см².
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.