Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 410 Атанасян — Подробные Ответы
Прямоугольный треугольник с катетами a и b вращается вокруг гипотенузы. Найдите площадь поверхности полученного тела.
Решение:
При вращении прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы получим два конуса с общим основанием. Радиус этого основания равен высоте, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу.
Радиус основания \( r = \frac{ab}{\sqrt{a^2 + b^2}} \).
Боковая поверхность первого конуса с образующей \( a \) равна \( S_{бок1} = \pi r a = \pi \frac{ab}{\sqrt{a^2 + b^2}} a = \frac{\pi a^2b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \).
Боковая поверхность второго конуса с образующей \( b \) равна \( S_{бок2} = \pi r b = \pi \frac{ab}{\sqrt{a^2 + b^2}} b = \frac{\pi ab^2}{\sqrt{a^2 + b^2}} \).
Площадь поверхности полученного тела равна сумме боковых поверхностей этих двух конусов:
\( S = S_{бок1} + S_{бок2} = \frac{\pi a^2b}{\sqrt{a^2 + b^2}} + \frac{\pi ab^2}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{\pi ab(a+b)}{\sqrt{a^2 + b^2}} \).
При вращении прямоугольного треугольника с катетами \( a \) и \( b \) вокруг его гипотенузы образуется тело, состоящее из двух конусов с общим основанием.
Основанием этих конусов является круг, полученный при вращении вершины прямого угла треугольника. Радиус \( r \) этого круга равен длине высоты, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу.
Длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами \( a \) и \( b \) по теореме Пифагора равна \( \sqrt{a^2 + b^2} \).
Площадь прямоугольного треугольника может быть выражена как половина произведения катетов, то есть \( \frac{1}{2}ab \). Также площадь можно выразить как половина произведения гипотенузы на высоту, опущенную на нее, то есть \( \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2} \cdot r \).
Приравнивая эти выражения для площади, получаем \( \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2} \cdot r \). Из этого уравнения находим радиус общего основания конусов: \( r = \frac{ab}{\sqrt{a^2 + b^2}} \).
Образующими конусов являются катеты исходного прямоугольного треугольника. Для первого конуса образующая равна \( a \), а для второго конуса образующая равна \( b \).
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле \( S_{бок} = \pi r L \), где \( r \) — радиус основания, а \( L \) — длина образующей.
Площадь боковой поверхности первого конуса с образующей \( a \) равна \( S_{бок1} = \pi \cdot \frac{ab}{\sqrt{a^2 + b^2}} \cdot a = \frac{\pi a^2b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \).
Площадь боковой поверхности второго конуса с образующей \( b \) равна \( S_{бок2} = \pi \cdot \frac{ab}{\sqrt{a^2 + b^2}} \cdot b = \frac{\pi ab^2}{\sqrt{a^2 + b^2}} \).
Полная площадь поверхности полученного тела вращения равна сумме площадей боковых поверхностей этих двух конусов, так как основания конусов совпадают и находятся внутри тела.
Таким образом, площадь поверхности тела равна \( S = S_{бок1} + S_{бок2} = \frac{\pi a^2b}{\sqrt{a^2 + b^2}} + \frac{\pi ab^2}{\sqrt{a^2 + b^2}} \).
Вынося общий множитель \( \frac{\pi ab}{\sqrt{a^2 + b^2}} \), получаем \( S = \frac{\pi ab}{\sqrt{a^2 + b^2}} (a + b) = \frac{\pi ab(a+b)}{\sqrt{a^2 + b^2}} \).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.