Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 408 Атанасян — Подробные Ответы
Через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу в \(120^\circ\), проведено сечение, составляющее с плоскостью основания угол в \(45^\circ\). Найдите площадь сечения, если радиус основания равен 4 см.
Проведем OC перпендикулярно DB, PC. По теореме о трех перпендикулярах PC перпендикулярно DB. PC — высота треугольника DPB.
Радиус основания \(R = 4\) см. Хорда DB стягивает дугу в \(120^\circ\), значит центральный угол \(\angle DOB = 120^\circ\). Треугольник DOB равнобедренный с \(OD = OB = 4\). В равнобедренном треугольнике DOB, высота OC является медианой, поэтому \(DC = CB = DB/2\). В прямоугольном треугольнике OCD, \(\angle DOC = 120^\circ/2 = 60^\circ\).
\(DC = OD \sin(60^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\) см.
\(DB = 2 \cdot DC = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\) см.
\(OC = OD \cos(60^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2\) см.
Угол между сечением и плоскостью основания равен \(\angle PCO = 45^\circ\). В прямоугольном треугольнике PCO:
\(PC = \frac{OC}{\cos(\angle PCO)} = \frac{2}{\cos(45^\circ)} = \frac{2}{\sqrt{2}/2} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\) см.
Площадь сечения (треугольника DPB) равна:
\(S_{DPB} = \frac{1}{2} \cdot DB \cdot PC = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{6}\) см².
Ответ: \(4\sqrt{6}\) см².
Рассмотрим основание конуса — это окружность с центром в точке O и радиусом \(R = 4\) см. Хорда DB стягивает дугу, соответствующую центральному углу \(\angle DOB = 120^\circ\). Треугольник DOB является равнобедренным, так как OD и OB — радиусы основания, следовательно, \(OD = OB = 4\) см.
Проведем отрезок OC из центра O перпендикулярно хорде DB. В равнобедренном треугольнике DOB, OC является высотой, медианой и биссектрисой угла \(\angle DOB\). Таким образом, OC делит хорду DB пополам (\(DC = CB\)) и делит угол \(\angle DOB\) пополам (\(\angle DOC = \angle BOC = 120^\circ / 2 = 60^\circ\)).
Рассмотрим прямоугольный треугольник DOC (угол \(\angle OCD = 90^\circ\)). Мы можем найти длину отрезка DC, используя синус угла \(\angle DOC\):
\(DC = OD \cdot \sin(\angle DOC) = 4 \cdot \sin(60^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\) см.
Длина хорды DB в два раза больше длины DC:
\(DB = 2 \cdot DC = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\) см.
Теперь найдем длину отрезка OC, используя косинус угла \(\angle DOC\):
\(OC = OD \cdot \cos(\angle DOC) = 4 \cdot \cos(60^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2\) см.
Сечение, проходящее через вершину конуса P и хорду основания DB, представляет собой треугольник DPB. Высотой этого треугольника, опущенной из вершины P на основание DB, является отрезок PC. По условию, сечение составляет с плоскостью основания угол в \(45^\circ\). Углом между плоскостью сечения (треугольник DPB) и плоскостью основания является угол между отрезком PC (лежащим в плоскости сечения и перпендикулярным линии пересечения плоскостей DB) и его проекцией на плоскость основания (отрезок OC, который перпендикулярен DB). Следовательно, угол между сечением и плоскостью основания — это угол \(\angle PCO = 45^\circ\).
Рассмотрим прямоугольный треугольник PCO (угол \(\angle POC = 90^\circ\), так как PO — высота конуса перпендикулярна плоскости основания). Мы можем найти длину отрезка PC, используя тангенс или косинус угла \(\angle PCO\). Используем косинус:
\(\cos(\angle PCO) = \frac{OC}{PC}\)
\(PC = \frac{OC}{\cos(\angle PCO)} = \frac{2}{\cos(45^\circ)} = \frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\) см.
Отрезок PC является высотой треугольника сечения DPB, опущенной на основание DB.
Площадь треугольника сечения DPB вычисляется по формуле:
\(S_{DPB} = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота\)
\(S_{DPB} = \frac{1}{2} \cdot DB \cdot PC\)
Подставим найденные значения DB и PC:
\(S_{DPB} = \frac{1}{2} \cdot (4\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{2}) = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{6} = 4\sqrt{6}\) см².
Таким образом, площадь сечения равна \(4\sqrt{6}\) см².
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.