ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 404 Атанасян — Подробные Ответы

Четверть круга свёрнута в коническую поверхность. Докажите, что образующая конуса в четыре раза больше радиуса основания.

Длина дуги четверти круга радиуса R равна \(\frac{1}{4} \cdot 2\pi R = \frac{\pi R}{2}\). При сворачивании четверти круга в конус эта дуга становится окружностью основания конуса. Длина окружности основания конуса радиуса r равна \(2\pi r\). Приравнивая эти длины, получаем \(\frac{\pi R}{2} = 2\pi r\). Деля обе части на \(\pi\), имеем \(\frac{R}{2} = 2r\). Умножая обе части на 2, получаем \(R = 4r\). Так как R является образующей конуса, а r — радиусом основания, то образующая конуса в четыре раза больше радиуса основания, что и требовалось доказать.

Рассмотрим четверть круга с радиусом, обозначенным как \(R\). Длина всей окружности радиуса \(R\) вычисляется по формуле \(C = 2\pi R\). Поскольку у нас четверть круга, длина дуги этой четверти круга будет составлять одну четвертую часть от длины всей окружности. Таким образом, длина дуги четверти круга равна \(\frac{1}{4} \cdot 2\pi R = \frac{2\pi R}{4} = \frac{\pi R}{2}\).

Теперь представим, что эта четверть круга сворачивается таким образом, что получается коническая поверхность. При этом сворачивании дуга четверти круга становится окружностью, которая образует основание конуса. Радиус исходной четверти круга \(R\) становится образующей конуса. Обозначим радиус основания полученного конуса как \(r\).

Длина окружности основания конуса с радиусом \(r\) вычисляется по формуле \(C_{осн} = 2\pi r\).

Поскольку дуга четверти круга при сворачивании становится окружностью основания конуса, их длины должны быть равны. Следовательно, мы можем приравнять выражение для длины дуги четверти круга к выражению для длины окружности основания конуса:
\(\frac{\pi R}{2} = 2\pi r\)

Теперь решим это уравнение относительно \(R\), чтобы выразить образующую конуса через радиус его основания. Для начала разделим обе части уравнения на \(\pi\). Поскольку \(\pi \neq 0\), это допустимо:
\(\frac{R}{2} = 2r\)

Далее, чтобы найти \(R\), умножим обе части уравнения на 2:
\(R = 2r \cdot 2\)
\(R = 4r\)

Мы получили, что образующая конуса \(R\) равна четырем радиусам основания конуса \(r\). Это соответствует утверждению, что образующая конуса в четыре раза больше радиуса основания, что и требовалось доказать.