Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 402 Атанасян — Подробные Ответы
Найдите высоту и радиус цилиндра, имеющего наибольшую площадь боковой поверхности, если периметр осевого сечения цилиндра равен \(2р\).
Пусть \(r\) — радиус основания цилиндра, \(h\) — его высота. Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами \(h\) и \(2r\). Периметр осевого сечения равен \(2(h + 2r)\). По условию, периметр равен \(2p\), следовательно \(2(h + 2r) = 2p\), откуда \(h + 2r = p\). Выразим высоту: \(h = p — 2r\).
Площадь боковой поверхности цилиндра равна \(S_{бок} = 2\pi r h\). Подставим выражение для \(h\): \(S_{бок}(r) = 2\pi r (p — 2r) = 2\pi pr — 4\pi r^2\).
Чтобы найти радиус, при котором площадь боковой поверхности максимальна, найдем производную \(S_{бок}(r)\) по \(r\) и приравняем ее к нулю:
\(S’_{бок}(r) = \frac{d}{dr}(2\pi pr — 4\pi r^2) = 2\pi p — 8\pi r\).
Приравняем производную к нулю: \(2\pi p — 8\pi r = 0\).
\(8\pi r = 2\pi p\).
\(r = \frac{2\pi p}{8\pi} = \frac{p}{4}\).
Теперь найдем соответствующую высоту \(h\), используя соотношение \(h = p — 2r\):
\(h = p — 2\left(\frac{p}{4}\right) = p — \frac{2p}{4} = p — \frac{p}{2} = \frac{p}{2}\).
Таким образом, радиус цилиндра, при котором площадь боковой поверхности наибольшая, равен \(\frac{p}{4}\), а высота равна \(\frac{p}{2}\).
Пусть \(r\) обозначает радиус основания цилиндра, а \(h\) — его высоту. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, стороны которого равны высоте цилиндра \(h\) и диаметру основания \(2r\).
Периметр осевого сечения этого прямоугольника вычисляется как сумма длин всех его сторон: \(2 \times (\text{сторона 1} + \text{сторона 2})\). В данном случае стороны равны \(h\) и \(2r\), поэтому периметр равен \(2(h + 2r)\).
По условию задачи, периметр осевого сечения цилиндра равен \(2p\). Приравниваем данное значение периметра к формуле периметра: \(2(h + 2r) = 2p\). Разделив обе части уравнения на 2, получаем соотношение между высотой, радиусом и заданным параметром \(p\): \(h + 2r = p\).
Из этого соотношения мы можем выразить высоту \(h\) через радиус \(r\) и параметр \(p\): \(h = p — 2r\).
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле \(S_{бок} = 2\pi r h\). Для того чтобы найти радиус и высоту, при которых площадь боковой поверхности максимальна, подставим в эту формулу выражение для \(h\) через \(r\): \(S_{бок}(r) = 2\pi r (p — 2r)\).
Раскроем скобки в выражении для площади боковой поверхности: \(S_{бок}(r) = 2\pi pr — 4\pi r^2\). Мы получили функцию, описывающую зависимость площади боковой поверхности от радиуса \(r\). Это квадратная функция относительно \(r\) с отрицательным коэффициентом при \(r^2\) (\(-4\pi\)), что означает, что ее график является параболой, направленной ветвями вниз. Максимальное значение такой функции достигается в вершине параболы.
Для нахождения значения \(r\), при котором функция \(S_{бок}(r)\) достигает максимума, мы можем использовать методы математического анализа, в частности, найти производную функции по \(r\) и приравнять ее к нулю. Производная функции \(S_{бок}(r)\) по \(r\) равна:
\(S’_{бок}(r) = \frac{d}{dr}(2\pi pr — 4\pi r^2)\).
Применяя правила дифференцирования, получаем:
\(S’_{бок}(r) = 2\pi p \cdot \frac{d}{dr}(r) — 4\pi \cdot \frac{d}{dr}(r^2) = 2\pi p \cdot 1 — 4\pi \cdot (2r) = 2\pi p — 8\pi r\).
Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \(2\pi p — 8\pi r = 0\).
Решим это уравнение относительно \(r\):
\(8\pi r = 2\pi p\).
Разделим обе части на \(8\pi\) (поскольку \(\pi \neq 0\) и \(p\) является параметром, связанным с периметром, можно считать \(p > 0\), следовательно \(8\pi \neq 0\)):
\(r = \frac{2\pi p}{8\pi} = \frac{p}{4}\).
Таким образом, радиус основания цилиндра, при котором площадь боковой поверхности максимальна, равен \(\frac{p}{4}\).
Теперь найдем соответствующую высоту \(h\), используя ранее полученное соотношение \(h = p — 2r\). Подставим найденное значение \(r\):
\(h = p — 2\left(\frac{p}{4}\right)\).
Упростим выражение:
\(h = p — \frac{2p}{4} = p — \frac{p}{2} = \frac{p}{2}\).
Следовательно, высота цилиндра, при которой площадь боковой поверхности максимальна, равна \(\frac{p}{2}\).
Итак, цилиндр, имеющий наибольшую площадь боковой поверхности при заданном периметре осевого сечения \(2p\), имеет радиус основания \(r = \frac{p}{4}\) и высоту \(h = \frac{p}{2}\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.