Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 401 Атанасян — Подробные Ответы
Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади круга, описанного около его осевого сечения. Найдите отношение радиуса цилиндра к его высоте.
Дано: \(S_{бок} = S_{кр}\). Найти отношение радиуса цилиндра к его высоте.
Пусть \(r\) — радиус цилиндра, \(h\) — его высота. Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами \(h\) и \(2r\).
Площадь боковой поверхности цилиндра равна \(S_{бок} = 2\pi r h\).
Круг описан около осевого сечения. Диаметр этого круга равен диагонали прямоугольника осевого сечения. Диагональ прямоугольника равна \(\sqrt{h^2 + (2r)^2} = \sqrt{h^2 + 4r^2}\).
Радиус описанного круга равен \(\frac{\sqrt{h^2 + 4r^2}}{2}\).
Площадь описанного круга равна \(S_{кр} = \pi \left(\frac{\sqrt{h^2 + 4r^2}}{2}\right)^2 = \pi \frac{h^2 + 4r^2}{4}\).
По условию задачи \(S_{бок} = S_{кр}\), следовательно \(2\pi r h = \pi \frac{h^2 + 4r^2}{4}\).
Разделим обе части на \(\pi\): \(2rh = \frac{h^2 + 4r^2}{4}\).
Умножим обе части на 4: \(8rh = h^2 + 4r^2\).
Разделим обе части на \(h^2\) (при \(h \neq 0\)): \(8 \frac{r}{h} = 1 + 4 \left(\frac{r}{h}\right)^2\).
Обозначим искомое отношение \(\frac{r}{h}\) через \(k\). Получим квадратное уравнение \(4k^2 — 8k + 1 = 0\).
Решим это уравнение относительно \(k\):
\(k_{1,2} = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 — 4(4)(1)}}{2(4)} = \frac{8 \pm \sqrt{64 — 16}}{8} = \frac{8 \pm \sqrt{48}}{8} = \frac{8 \pm 4\sqrt{3}}{8} = \frac{2 \pm \sqrt{3}}{2}\).
Таким образом, отношение радиуса цилиндра к его высоте равно \(\frac{2 \pm \sqrt{3}}{2}\).
Дано, что площадь боковой поверхности цилиндра равна площади круга, описанного около его осевого сечения. Требуется найти отношение радиуса цилиндра к его высоте.
Пусть радиус основания цилиндра равен \(r\), а его высота равна \(h\).
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле \(S_{бок} = 2\pi r h\).
Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами, равными высоте цилиндра \(h\) и диаметру основания \(2r\).
Круг описан около этого прямоугольника. Диаметр этого описанного круга равен диагонали прямоугольника осевого сечения. Обозначим диагональ прямоугольника через \(d\). Используя теорему Пифагора, найдем квадрат диагонали: \(d^2 = h^2 + (2r)^2 = h^2 + 4r^2\).
Радиус описанного круга \(R\) равен половине его диаметра: \(R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{h^2 + 4r^2}}{2}\).
Площадь описанного круга вычисляется по формуле \(S_{кр} = \pi R^2\). Подставим значение радиуса \(R\): \(S_{кр} = \pi \left(\frac{\sqrt{h^2 + 4r^2}}{2}\right)^2 = \pi \frac{h^2 + 4r^2}{4}\).
Согласно условию задачи, площадь боковой поверхности цилиндра равна площади описанного круга: \(S_{бок} = S_{кр}\).
Приравниваем выражения для площадей: \(2\pi r h = \pi \frac{h^2 + 4r^2}{4}\).
Разделим обе части уравнения на \(\pi\) (поскольку \(\pi \neq 0\)): \(2 r h = \frac{h^2 + 4r^2}{4}\).
Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя: \(8 r h = h^2 + 4r^2\).
Нам нужно найти отношение \(\frac{r}{h}\). Разделим обе части уравнения на \(h^2\) (предполагая, что \(h \neq 0\), так как высота цилиндра не может быть нулевой):
\(\frac{8 r h}{h^2} = \frac{h^2}{h^2} + \frac{4r^2}{h^2}\)
\(8 \frac{r}{h} = 1 + 4 \left(\frac{r}{h}\right)^2\).
Обозначим искомое отношение \(\frac{r}{h}\) через переменную \(k\). Уравнение принимает вид: \(8k = 1 + 4k^2\).
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: \(4k^2 — 8k + 1 = 0\).
Решим это квадратное уравнение относительно \(k\) с помощью формулы для корней квадратного уравнения \(k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}\), где \(a=4\), \(b=-8\), \(c=1\).
\(k = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 — 4(4)(1)}}{2(4)}\)
\(k = \frac{8 \pm \sqrt{64 — 16}}{8}\)
\(k = \frac{8 \pm \sqrt{48}}{8}\).
Упростим квадратный корень: \(\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{16} \times \sqrt{3} = 4\sqrt{3}\).
Подставим упрощенное значение корня обратно в формулу для \(k\):
\(k = \frac{8 \pm 4\sqrt{3}}{8}\).
Разделим числитель и знаменатель на 4:
\(k = \frac{4(2 \pm \sqrt{3})}{8}\)
\(k = \frac{2 \pm \sqrt{3}}{2}\).
Таким образом, получены два возможных значения для отношения \(\frac{r}{h}\). Оба значения положительны, что физически возможно для отношения радиуса и высоты.
Искомое отношение радиуса цилиндра к его высоте равно \(\frac{2 \pm \sqrt{3}}{2}\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.