ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 400 Атанасян — Подробные Ответы

Найдите отношение площадей полной и боковой поверхностей цилиндра, если осевое сечение цилиндра представляет собой: а) квадрат; б) прямоугольник ABCD, в котором \(АВ : AD = 1 : 2\)

а) Осевое сечение — квадрат, сторона которого равна \(a\). Радиус основания \(r = \frac{a}{2}\), высота цилиндра равна \(a\). Площадь боковой поверхности \(S_{бок} = 2\pi r h = 2\pi \cdot \frac{a}{2} \cdot a = \pi a^2\). Площадь основания \(S_{осн} = \pi r^2 = \pi (\frac{a}{2})^2 = \frac{\pi a^2}{4}\), соответственно \(2S_{осн} = 2 \cdot \frac{\pi a^2}{4} = \frac{\pi a^2}{2}\). Площадь полной поверхности \(S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = \pi a^2 + \frac{\pi a^2}{2} = \frac{3\pi a^2}{2}\). Отношение площади полной поверхности к площади боковой поверхности равно \(\frac{S_{полн}}{S_{бок}} = \frac{\frac{3\pi a^2}{2}}{\pi a^2} = \frac{3}{2}\).

б) Осевое сечение — прямоугольник ABCD, в котором \(АВ : AD = 1 : 2\). Пусть \(AB = a\), тогда \(AD = 2a\). Рассмотрим два случая.
Первый случай: \(AD = h\), \(AB = 2r\). Значит высота цилиндра \(h = AD = 2a\), а диаметр основания \(2r = AB = a\), откуда радиус \(r = \frac{a}{2}\). Площадь боковой поверхности \(S_{бок} = 2\pi r h = 2\pi \cdot \frac{a}{2} \cdot 2a = 2\pi a^2\). Площадь основания \(S_{осн} = \pi r^2 = \pi (\frac{a}{2})^2 = \frac{\pi a^2}{4}\), соответственно \(2S_{осн} = 2 \cdot \frac{\pi a^2}{4} = \frac{\pi a^2}{2}\). Площадь полной поверхности \(S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 2\pi a^2 + \frac{\pi a^2}{2} = \frac{5\pi a^2}{2}\). Отношение площади полной поверхности к площади боковой поверхности равно \(\frac{S_{полн}}{S_{бок}} = \frac{\frac{5\pi a^2}{2}}{2\pi a^2} = \frac{5}{4}\).
Второй случай: \(AB = h\), \(AD = 2r\). Значит высота цилиндра \(h = AB = a\), а диаметр основания \(2r = AD = 2a\), откуда радиус \(r = a\). Площадь боковой поверхности \(S_{бок} = 2\pi r h = 2\pi \cdot a \cdot a = 2\pi a^2\). Площадь основания \(S_{осн} = \pi r^2 = \pi a^2\), соответственно \(2S_{осн} = 2 \cdot \pi a^2 = 2\pi a^2\). Площадь полной поверхности \(S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 2\pi a^2 + 2\pi a^2 = 4\pi a^2\). Отношение площади полной поверхности к площади боковой поверхности равно \(\frac{S_{полн}}{S_{бок}} = \frac{4\pi a^2}{2\pi a^2} = 2\).

а) Осевое сечение цилиндра представляет собой квадрат. Пусть сторона этого квадрата равна \(a\). Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, одна сторона которого равна диаметру основания цилиндра (\(2r\)), а другая сторона равна высоте цилиндра (\(h\)). Поскольку осевое сечение является квадратом со стороной \(a\), это означает, что диаметр основания цилиндра равен \(a\), то есть \(2r = a\), и высота цилиндра равна \(a\), то есть \(h = a\). Из равенства \(2r = a\) находим радиус основания \(r = \frac{a}{2}\). Высота цилиндра \(h = a\). Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле \(S_{бок} = 2\pi r h\). Подставляя значения \(r = \frac{a}{2}\) и \(h = a\), получаем \(S_{бок} = 2\pi \left(\frac{a}{2}\right) (a) = \pi a^2\). Площадь основания цилиндра вычисляется по формуле \(S_{осн} = \pi r^2\). Подставляя значение \(r = \frac{a}{2}\), получаем \(S_{осн} = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \pi \frac{a^2}{4}\). Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания: \(S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}\). Подставляя значения \(S_{бок} = \pi a^2\) и \(S_{осн} = \frac{\pi a^2}{4}\), получаем \(S_{полн} = \pi a^2 + 2 \left(\frac{\pi a^2}{4}\right) = \pi a^2 + \frac{\pi a^2}{2}\). Приводя к общему знаменателю, находим \(S_{полн} = \frac{2\pi a^2}{2} + \frac{\pi a^2}{2} = \frac{2\pi a^2 + \pi a^2}{2} = \frac{3\pi a^2}{2}\). Отношение площади полной поверхности к площади боковой поверхности равно \(\frac{S_{полн}}{S_{бок}}\). Подставляя найденные значения, получаем \(\frac{S_{полн}}{S_{бок}} = \frac{\frac{3\pi a^2}{2}}{\pi a^2}\). Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь: \(\frac{S_{полн}}{S_{бок}} = \frac{3\pi a^2}{2} \cdot \frac{1}{\pi a^2}\). Сокращая \(\pi a^2\), получаем \(\frac{3}{2}\).

б) Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник ABCD, в котором \(АВ : AD = 1 : 2\). Пусть \(AB = a\), тогда \(AD = 2a\). Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник со сторонами, равными диаметру основания (\(2r\)) и высоте (\(h\)). Стороны данного прямоугольника — \(AB\) и \(AD\). Возможны два случая.

Первый случай: Сторона \(AB\) является диаметром основания, а сторона \(AD\) — высотой цилиндра. В этом случае \(2r = AB = a\) и \(h = AD = 2a\). Из равенства \(2r = a\) находим радиус основания \(r = \frac{a}{2}\). Высота цилиндра \(h = 2a\). Площадь боковой поверхности цилиндра \(S_{бок} = 2\pi r h = 2\pi \left(\frac{a}{2}\right) (2a) = 2\pi a^2\). Площадь основания цилиндра \(S_{осн} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \pi \frac{a^2}{4}\). Площадь двух оснований \(2S_{осн} = 2 \cdot \frac{\pi a^2}{4} = \frac{\pi a^2}{2}\). Площадь полной поверхности цилиндра \(S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 2\pi a^2 + \frac{\pi a^2}{2}\). Приводя к общему знаменателю, получаем \(S_{полн} = \frac{4\pi a^2}{2} + \frac{\pi a^2}{2} = \frac{4\pi a^2 + \pi a^2}{2} = \frac{5\pi a^2}{2}\). Отношение площади полной поверхности к площади боковой поверхности равно \(\frac{S_{полн}}{S_{бок}} = \frac{\frac{5\pi a^2}{2}}{2\pi a^2}\). Деление на дробь равносильно умножению на обратную: \(\frac{S_{полн}}{S_{бок}} = \frac{5\pi a^2}{2} \cdot \frac{1}{2\pi a^2}\). Сокращая \(\pi a^2\), получаем \(\frac{5}{4}\).

Второй случай: Сторона \(AD\) является диаметром основания, а сторона \(AB\) — высотой цилиндра. В этом случае \(2r = AD = 2a\) и \(h = AB = a\). Из равенства \(2r = 2a\) находим радиус основания \(r = a\). Высота цилиндра \(h = a\). Площадь боковой поверхности цилиндра \(S_{бок} = 2\pi r h = 2\pi (a) (a) = 2\pi a^2\). Площадь основания цилиндра \(S_{осн} = \pi r^2 = \pi a^2\). Площадь двух оснований \(2S_{осн} = 2 \cdot \pi a^2 = 2\pi a^2\). Площадь полной поверхности цилиндра \(S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 2\pi a^2 + 2\pi a^2 = 4\pi a^2\). Отношение площади полной поверхности к площади боковой поверхности равно \(\frac{S_{полн}}{S_{бок}} = \frac{4\pi a^2}{2\pi a^2}\). Сокращая \(\pi a^2\), получаем \(\frac{4}{2} = 2\).