Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 4 Атанасян — Подробные Ответы
Точки \(A, B, C\) и \(D\) не лежат в одной плоскости. а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой? б) Могут ли прямые \(AB\) и \(CD\) пересекаться? Ответ обоснуйте.
а) Никакие три точки из \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) не могут лежать на одной прямой, так как это привело бы к их нахождению в одной плоскости, что противоречит условию.
б) Прямые \(AB\) и \(CD\) не могут пересекаться, поскольку пересечение прямых требует их нахождения в одной плоскости, что также невозможно из-за условия, что точки не лежат в одной плоскости.
Рассмотрим задачу подробно.
Имеем четыре точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\), которые не лежат в одной плоскости. Это означает, что они образуют тетраэдр, и никакая тройка из них не лежит в одной плоскости. Проанализируем каждый из вопросов.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Для того чтобы три точки \(A\), \(B\) и \(C\) лежали на одной прямой, необходимо, чтобы они были коллинеарны. Это означает, что векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) должны быть линейно зависимы, то есть существовать такие числа \(\lambda\) и \(\mu\), не равные одновременно нулю, чтобы выполнялось равенство:
\(
\lambda \cdot \overrightarrow{AB} + \mu \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0}.
\)
Однако, по условию задачи, точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) не лежат в одной плоскости. Это автоматически исключает возможность того, что три из них лежат на одной прямой, так как если бы три точки были коллинеарны, то эти три точки лежали бы в одной плоскости, что противоречит условию. Таким образом, никакие три точки из \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) не могут лежать на одной прямой.
б) Могут ли прямые \(AB\) и \(CD\) пересекаться?
Для ответа на этот вопрос рассмотрим взаимное расположение прямых \(AB\) и \(CD\). Прямые \(AB\) и \(CD\) заданы парами точек \(A, B\) и \(C, D\), соответственно.
Если прямые \(AB\) и \(CD\) пересекаются, то существует точка пересечения \(P\), которая одновременно принадлежит обеим прямым. Это означает, что найдутся такие параметры \(t_1\) и \(t_2\), чтобы выполнялись уравнения:
\(
\overrightarrow{AP} = t_1 \cdot \overrightarrow{AB}, \quad \overrightarrow{CP} = t_2 \cdot \overrightarrow{CD}.
\)
При этом точка \(P\) должна быть общей для обеих прямых, то есть:
\(
\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{CP}.
\)
Однако, поскольку точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) не лежат в одной плоскости, прямые \(AB\) и \(CD\) не могут пересечься. Это связано с тем, что пересекающиеся прямые обязательно лежат в одной плоскости, а по условию задачи этого быть не может. Таким образом, прямые \(AB\) и \(CD\) не пересекаются.
В итоге:
а) Никакие три из точек \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) не могут лежать на одной прямой, так как это противоречило бы условию, что точки не лежат в одной плоскости.
б) Прямые \(AB\) и \(CD\) не могут пересекаться, так как пересечение прямых предполагает их нахождение в одной плоскости, что также противоречит условию задачи.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.