ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 4 Атанасян — Подробные Ответы

Точки \(A, B, C\) и \(D\) не лежат в одной плоскости. а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой? б) Могут ли прямые \(AB\) и \(CD\) пересекаться? Ответ обоснуйте.

а) Никакие три точки из \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) не могут лежать на одной прямой, так как это привело бы к их нахождению в одной плоскости, что противоречит условию.

б) Прямые \(AB\) и \(CD\) не могут пересекаться, поскольку пересечение прямых требует их нахождения в одной плоскости, что также невозможно из-за условия, что точки не лежат в одной плоскости.

Рассмотрим задачу подробно.

Имеем четыре точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\), которые не лежат в одной плоскости. Это означает, что они образуют тетраэдр, и никакая тройка из них не лежит в одной плоскости. Проанализируем каждый из вопросов.

а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?

Для того чтобы три точки \(A\), \(B\) и \(C\) лежали на одной прямой, необходимо, чтобы они были коллинеарны. Это означает, что векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) должны быть линейно зависимы, то есть существовать такие числа \(\lambda\) и \(\mu\), не равные одновременно нулю, чтобы выполнялось равенство:

\(
\lambda \cdot \overrightarrow{AB} + \mu \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0}.
\)

Однако, по условию задачи, точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) не лежат в одной плоскости. Это автоматически исключает возможность того, что три из них лежат на одной прямой, так как если бы три точки были коллинеарны, то эти три точки лежали бы в одной плоскости, что противоречит условию. Таким образом, никакие три точки из \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) не могут лежать на одной прямой.

б) Могут ли прямые \(AB\) и \(CD\) пересекаться?

Для ответа на этот вопрос рассмотрим взаимное расположение прямых \(AB\) и \(CD\). Прямые \(AB\) и \(CD\) заданы парами точек \(A, B\) и \(C, D\), соответственно.

Если прямые \(AB\) и \(CD\) пересекаются, то существует точка пересечения \(P\), которая одновременно принадлежит обеим прямым. Это означает, что найдутся такие параметры \(t_1\) и \(t_2\), чтобы выполнялись уравнения:

\(
\overrightarrow{AP} = t_1 \cdot \overrightarrow{AB}, \quad \overrightarrow{CP} = t_2 \cdot \overrightarrow{CD}.
\)

При этом точка \(P\) должна быть общей для обеих прямых, то есть:

\(
\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{CP}.
\)

Однако, поскольку точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) не лежат в одной плоскости, прямые \(AB\) и \(CD\) не могут пересечься. Это связано с тем, что пересекающиеся прямые обязательно лежат в одной плоскости, а по условию задачи этого быть не может. Таким образом, прямые \(AB\) и \(CD\) не пересекаются.

В итоге:

а) Никакие три из точек \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) не могут лежать на одной прямой, так как это противоречило бы условию, что точки не лежат в одной плоскости.

б) Прямые \(AB\) и \(CD\) не могут пересекаться, так как пересечение прямых предполагает их нахождение в одной плоскости, что также противоречит условию задачи.