Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 395 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что площадь полной поверхности цилиндра, полученного при вращении квадрата вокруг одной из его сторон, равна площади сферы, радиус которой равен стороне квадрата.
Пусть сторона квадрата равна \(a\). При вращении квадрата вокруг одной из его сторон, например стороны AB, образуется цилиндр.
Высота этого цилиндра равна стороне квадрата, то есть \(h = a\). Радиус основания цилиндра также равен стороне квадрата, то есть \(r = a\). Площадь основания цилиндра равна \(S_{осн} = \pi r^2 = \pi a^2\). Площадь боковой поверхности цилиндра равна \(S_{бок} = 2\pi r h = 2\pi a \cdot a = 2\pi a^2\). Полная площадь поверхности цилиндра складывается из площадей двух оснований и площади боковой поверхности: \(S_{полн\;цилиндра} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2\pi a^2 + 2\pi a^2 = 4\pi a^2\). Теперь рассмотрим сферу, радиус которой равен стороне квадрата, то есть \(R = a\). Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле \(S_{сферы} = 4\pi R^2\). Подставляя \(R = a\), получаем \(S_{сферы} = 4\pi a^2\). Таким образом, полная площадь поверхности цилиндра, полученного вращением квадрата вокруг его стороны, равна площади поверхности сферы, радиус которой равен стороне квадрата, что и требовалось доказать: \(S_{полн\;цилиндра} = S_{сферы}\).
Пусть дан квадрат ABCD со стороной длиной \(a\).
Рассмотрим вращение этого квадрата вокруг одной из его сторон, например, вокруг стороны AB. При таком вращении сторона AB остается неподвижной, а стороны BC и AD описывают окружности, образующие основания цилиндра. Сторона CD описывает цилиндрическую поверхность.
В результате вращения квадрата ABCD вокруг стороны AB образуется прямой круговой цилиндр.
Высота этого цилиндра равна длине стороны, вокруг которой происходит вращение, то есть высоте квадрата. В данном случае, высота цилиндра \(h\) равна длине стороны AB, которая равна \(a\). Следовательно, \(h = a\).
Радиус основания этого цилиндра равен длине стороны квадрата, перпендикулярной оси вращения. В данном случае, это длины сторон BC или AD. Радиус цилиндра \(r\) равен длине стороны AD, которая равна \(a\). Следовательно, \(r = a\).
Теперь вычислим площадь полной поверхности полученного цилиндра.
Полная площадь поверхности цилиндра состоит из площадей двух оснований и площади боковой поверхности.
Площадь одного основания цилиндра, которое является кругом с радиусом \(r\), вычисляется по формуле \(S_{осн} = \pi r^2\). Поскольку \(r = a\), площадь одного основания равна \(S_{осн} = \pi a^2\).
Площадь двух оснований равна \(2 \cdot S_{осн} = 2 \cdot \pi a^2\).
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле \(S_{бок} = 2\pi r h\). Подставляя значения радиуса \(r = a\) и высоты \(h = a\), получаем: \(S_{бок} = 2\pi (a)(a) = 2\pi a^2\).
Полная площадь поверхности цилиндра \(S_{полн\;цилиндра}\) равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности:
\(S_{полн\;цилиндра} = 2S_{осн} + S_{бок}\)
\(S_{полн\;цилиндра} = 2\pi a^2 + 2\pi a^2\)
\(S_{полн\;цилиндра} = 4\pi a^2\).
Теперь рассмотрим сферу, радиус которой равен стороне квадрата. Пусть радиус этой сферы \(R\). По условию, \(R = a\).
Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле \(S_{сферы} = 4\pi R^2\).
Подставляя значение радиуса сферы \(R = a\), получаем:
\(S_{сферы} = 4\pi (a)^2\)
\(S_{сферы} = 4\pi a^2\).
Сравнивая полную площадь поверхности цилиндра и площадь поверхности сферы, мы видим, что:
\(S_{полн\;цилиндра} = 4\pi a^2\)
\(S_{сферы} = 4\pi a^2\)
Следовательно, \(S_{полн\;цилиндра} = S_{сферы}\).
Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра, полученного при вращении квадрата вокруг одной из его сторон, равна площади сферы, радиус которой равен стороне квадрата. Доказательство завершено.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.