Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 393 Атанасян — Подробные Ответы
Радиусы двух параллельных сечений сферы равны 9 см и 12 см. Расстояние между секущими плоскостями равно 3 см. Найдите площадь сферы
Радиусы сечений равны \(r_1=9\) см и \(r_2=12\) см, расстояние между ними \(h=3\) см. Пусть \(R\) — радиус сферы.
Расстояния от центра сферы до центров сечений равны \(\sqrt{R^2-r_1^2}\) и \(\sqrt{R^2-r_2^2}\). Поскольку \(r_1 < r_2\), сечение с радиусом \(r_1\) находится дальше от центра сферы, чем сечение с радиусом \(r_2\). Расстояние между сечениями равно разности этих расстояний: \(\sqrt{R^2-9^2} — \sqrt{R^2-12^2} = 3\). \(\sqrt{R^2-81} — \sqrt{R^2-144} = 3\). \(\sqrt{R^2-81} = 3 + \sqrt{R^2-144}\). Возведем обе части в квадрат: \(R^2-81 = (3 + \sqrt{R^2-144})^2\). \(R^2-81 = 9 + 6\sqrt{R^2-144} + R^2-144\). \(-81 = 9 + 6\sqrt{R^2-144} — 144\). \(-81 = 6\sqrt{R^2-144} — 135\). \(135 — 81 = 6\sqrt{R^2-144}\). \(54 = 6\sqrt{R^2-144}\). \(9 = \sqrt{R^2-144}\). Возведем обе части в квадрат: \(81 = R^2-144\). \(R^2 = 81 + 144\). \(R^2 = 225\). \(R = \sqrt{225} = 15\) см (так как \(R>0\)).
Площадь сферы находится по формуле \(S = 4\pi R^2\).
\(S = 4\pi (15)^2 = 4\pi \cdot 225 = 900\pi\) см².
Даны два параллельных сечения сферы с радиусами \(r_1 = 9\) см и \(r_2 = 12\) см. Расстояние между плоскостями этих сечений равно \(h = 3\) см. Требуется найти площадь поверхности сферы.
Пусть \(R\) — радиус сферы. Расстояние от центра сферы до плоскости сечения с радиусом \(r\) определяется по формуле \(d = \sqrt{R^2 — r^2}\).
Для первого сечения с радиусом \(r_1 = 9\) см расстояние от центра сферы до его плоскости равно \(d_1 = \sqrt{R^2 — r_1^2} = \sqrt{R^2 — 9^2} = \sqrt{R^2 — 81}\).
Для второго сечения с радиусом \(r_2 = 12\) см расстояние от центра сферы до его плоскости равно \(d_2 = \sqrt{R^2 — r_2^2} = \sqrt{R^2 — 12^2} = \sqrt{R^2 — 144}\).
Поскольку радиус первого сечения (\(r_1 = 9\) см) меньше радиуса второго сечения (\(r_2 = 12\) см), первое сечение находится дальше от центра сферы, чем второе. Расстояние между плоскостями сечений равно разности расстояний от центра сферы до этих плоскостей: \(d_1 — d_2 = h\).
Подставим выражения для \(d_1\) и \(d_2\) и значение \(h\):
\(\sqrt{R^2 — 81} — \sqrt{R^2 — 144} = 3\).
Для решения этого уравнения уединим один из радикалов:
\(\sqrt{R^2 — 81} = 3 + \sqrt{R^2 — 144}\).
Возведем обе части уравнения в квадрат:
\((\sqrt{R^2 — 81})^2 = (3 + \sqrt{R^2 — 144})^2\).
\(R^2 — 81 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{R^2 — 144} + (\sqrt{R^2 — 144})^2\).
\(R^2 — 81 = 9 + 6\sqrt{R^2 — 144} + R^2 — 144\).
Вычтем \(R^2\) из обеих частей уравнения:
\(-81 = 9 + 6\sqrt{R^2 — 144} — 144\).
Сгруппируем постоянные члены в правой части:
\(-81 = 6\sqrt{R^2 — 144} — 135\).
Перенесем постоянные члены без радикала в левую часть:
\(135 — 81 = 6\sqrt{R^2 — 144}\).
\(54 = 6\sqrt{R^2 — 144}\).
Разделим обе части на 6:
\(9 = \sqrt{R^2 — 144}\).
Снова возведем обе части уравнения в квадрат:
\(9^2 = (\sqrt{R^2 — 144})^2\).
\(81 = R^2 — 144\).
Выразим \(R^2\):
\(R^2 = 81 + 144\).
\(R^2 = 225\).
Найдем радиус сферы \(R\). Поскольку радиус должен быть положительным, берем положительный корень:
\(R = \sqrt{225} = 15\) см.
Площадь поверхности сферы находится по формуле \(S = 4\pi R^2\).
Подставим найденное значение \(R\):
\(S = 4\pi (15)^2\).
\(S = 4\pi \cdot 225\).
\(S = 900\pi\) см².
Таким образом, площадь поверхности сферы равна \(900\pi\) квадратных сантиметров.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.