Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 385 Атанасян — Подробные Ответы
Через точку сферы радиуса R, которая является границей данного шара, проведены две плоскости, одна из которых является касательной к сфере, а другая наклонена под углом \(\phi\) к касательной плоскости. Найдите площадь сечения данного шара.
Радиус сечения шара плоскостью \(\beta\) равен \(r = R \sin \phi\). Площадь сечения шара равна \(S = \pi r^2\). Подставляя значение \(r\), получаем \(S = \pi (R \sin \phi)^2 = \pi R^2 \sin^2 \phi\).
Через точку С на сфере радиуса R проведена касательная плоскость \(\alpha\). Другая плоскость \(\beta\) проходит через точку С и пересекает шар по окружности. Плоскость \(\beta\) образует с касательной плоскостью \(\alpha\) угол \(\phi\). Диаметр окружности сечения равен СВ.
Проведем радиус ОС к точке касания С. Поскольку плоскость \(\alpha\) является касательной к сфере в точке С, радиус ОС перпендикулярен плоскости \(\alpha\).
Плоскость \(\beta\) пересекает шар по окружности с диаметром СВ. Точки С и В лежат на сфере и на окружности сечения. Центр окружности сечения, обозначим его О₁, лежит на отрезке СВ.
Угол между плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\) равен \(\phi\). Рассмотрим сечение шара плоскостью, проходящей через центр шара О и содержащей диаметр СВ. Эта плоскость перпендикулярна линии пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\) в точке С. В этой секущей плоскости радиус ОС перпендикулярен касательной прямой, лежащей в плоскости \(\alpha\). Линия СВ лежит в плоскости \(\beta\). Угол между плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\) равен углу между перпендикулярами к их линии пересечения в точке С. Угол между ОС (перпендикуляром к \(\alpha\)) и СВ (лежащей в \(\beta\)) связан с углом \(\phi\). Согласно условию и рисунку, угол между радиусом ОС и хордой СВ равен \(90^\circ — \phi\), то есть \(\angle OCB = 90^\circ — \phi\).
Треугольник ОСВ равнобедренный, так как ОС = ОВ = R (радиусы шара). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому \(\angle OCB = \angle OBC = 90^\circ — \phi\).
Центр окружности сечения О₁ лежит на диаметре СВ. Треугольник ОО₁В является прямоугольным с прямым углом при О₁, так как прямая, соединяющая центр шара с центром сечения, перпендикулярна плоскости сечения. В этом прямоугольном треугольнике гипотенуза ОВ = R (радиус шара), а катет О₁В является радиусом окружности сечения, обозначим его \(r\). Угол \(\angle OBO_1 = \angle OBC = 90^\circ — \phi\).
Используя определение косинуса в прямоугольном треугольнике ОО₁В:
\(\cos(\angle OBO_1) = \frac{O_1B}{OB}\)
\(\cos(90^\circ — \phi) = \frac{r}{R}\)
Известно, что \(\cos(90^\circ — \phi) = \sin \phi\).
Следовательно, \(\sin \phi = \frac{r}{R}\).
Отсюда находим радиус сечения: \(r = R \sin \phi\).
Площадь сечения шара плоскостью является площадью круга радиуса \(r\). Формула площади круга: \(S = \pi r^2\).
Подставляем найденное значение \(r\):
\(S = \pi (R \sin \phi)^2\)
\(S = \pi R^2 \sin^2 \phi\)
Таким образом, площадь сечения шара плоскостью \(\beta\) равна \(\pi R^2 \sin^2 \phi\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.