Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 382 Атанасян — Подробные Ответы
Расстояние от центра шара радиуса R до секущей плоскости равно d. Вычислите: а) площадь S сечения, если \(R = 12\) см, \(d = 8\) см; б) R, если площадь сечения равна 12 см\(^2\), \(d = 2\) см
Решение:
Если \(R > d\), то секущая плоскость и сфера пересекаются по окружности радиуса \(r = \sqrt{R^2 — d^2}\). В сечении получается круг, а его площадь \(S = \pi r^2 = \pi (R^2 — d^2)\).
а) \(R = 12\) см, \(d = 8\) см. \(R > d\), секущая плоскость и сфера пересекаются. \(r^2 = R^2 — d^2 = 12^2 — 8^2 = 144 — 64 = 80\). \(S = \pi r^2 = \pi \cdot 80 = 80\pi\) см\(^2\).
б) \(S = 12\) см\(^2\), \(d = 2\) см. \(S = \pi (R^2 — d^2)\). \(S = \pi R^2 — \pi d^2\). \(\pi R^2 = S + \pi d^2\). \(R^2 = \frac{S + \pi d^2}{\pi} = \frac{S}{\pi} + d^2\). \(R = \sqrt{\frac{S}{\pi} + d^2} = \sqrt{\frac{12}{\pi} + 2^2} = \sqrt{4 + \frac{12}{\pi}}\) см.
Решение:
Если радиус шара \(R\) больше расстояния \(d\) от центра шара до секущей плоскости, то секущая плоскость и сфера пересекаются по окружности. Радиус этой окружности \(r\) может быть найден с использованием теоремы Пифагора, примененной к прямоугольному треугольнику, образованному радиусом шара, расстоянием до плоскости и радиусом сечения. В этом треугольнике радиус шара является гипотенузой, а расстояние до плоскости и радиус сечения являются катетами. Таким образом, выполняется соотношение \(R^2 = d^2 + r^2\). Отсюда радиус сечения выражается как \(r = \sqrt{R^2 — d^2}\). В сечении получается круг, площадь которого \(S\) вычисляется по формуле площади круга \(S = \pi r^2\). Подставляя выражение для \(r^2\), получаем формулу для площади сечения через радиус шара и расстояние до плоскости: \(S = \pi (R^2 — d^2)\).
а) Дано: радиус шара \(R = 12\) см, расстояние от центра до плоскости \(d = 8\) см.
Сначала убедимся, что сечение является окружностью, проверив условие \(R > d\). Так как \(12 > 8\), секущая плоскость и сфера пересекаются по окружности.
Найдем квадрат радиуса сечения по формуле \(r^2 = R^2 — d^2\). Подставляем значения: \(r^2 = 12^2 — 8^2 = 144 — 64 = 80\).
Теперь вычислим площадь сечения \(S\) по формуле \(S = \pi r^2\). Подставляем значение \(r^2\): \(S = \pi \cdot 80 = 80\pi\) см\(^2\).
б) Дано: площадь сечения \(S = 12\) см\(^2\), расстояние от центра до плоскости \(d = 2\) см.
Необходимо найти радиус шара \(R\). Используем формулу для площади сечения \(S = \pi (R^2 — d^2)\).
Подставляем известные значения: \(12 = \pi (R^2 — 2^2)\).
Упрощаем выражение в скобках: \(12 = \pi (R^2 — 4)\).
Раскрываем скобки: \(12 = \pi R^2 — 4\pi\).
Переносим член с \(4\pi\) в левую часть уравнения, чтобы выразить \(\pi R^2\): \(\pi R^2 = 12 + 4\pi\).
Делим обе части уравнения на \(\pi\), чтобы выразить \(R^2\): \(R^2 = \frac{12 + 4\pi}{\pi}\).
Разделяем дробь на два слагаемых: \(R^2 = \frac{12}{\pi} + \frac{4\pi}{\pi} = \frac{12}{\pi} + 4\).
Наконец, находим радиус \(R\), извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения: \(R = \sqrt{4 + \frac{12}{\pi}}\) см.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.