ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 382 Атанасян — Подробные Ответы

Расстояние от центра шара радиуса R до секущей плоскости равно d. Вычислите: а) площадь S сечения, если \(R = 12\) см, \(d = 8\) см; б) R, если площадь сечения равна 12 см\(^2\), \(d = 2\) см

Решение:
Если \(R > d\), то секущая плоскость и сфера пересекаются по окружности радиуса \(r = \sqrt{R^2 — d^2}\). В сечении получается круг, а его площадь \(S = \pi r^2 = \pi (R^2 — d^2)\).
а) \(R = 12\) см, \(d = 8\) см. \(R > d\), секущая плоскость и сфера пересекаются. \(r^2 = R^2 — d^2 = 12^2 — 8^2 = 144 — 64 = 80\). \(S = \pi r^2 = \pi \cdot 80 = 80\pi\) см\(^2\).
б) \(S = 12\) см\(^2\), \(d = 2\) см. \(S = \pi (R^2 — d^2)\). \(S = \pi R^2 — \pi d^2\). \(\pi R^2 = S + \pi d^2\). \(R^2 = \frac{S + \pi d^2}{\pi} = \frac{S}{\pi} + d^2\). \(R = \sqrt{\frac{S}{\pi} + d^2} = \sqrt{\frac{12}{\pi} + 2^2} = \sqrt{4 + \frac{12}{\pi}}\) см.

Решение:
Если радиус шара \(R\) больше расстояния \(d\) от центра шара до секущей плоскости, то секущая плоскость и сфера пересекаются по окружности. Радиус этой окружности \(r\) может быть найден с использованием теоремы Пифагора, примененной к прямоугольному треугольнику, образованному радиусом шара, расстоянием до плоскости и радиусом сечения. В этом треугольнике радиус шара является гипотенузой, а расстояние до плоскости и радиус сечения являются катетами. Таким образом, выполняется соотношение \(R^2 = d^2 + r^2\). Отсюда радиус сечения выражается как \(r = \sqrt{R^2 — d^2}\). В сечении получается круг, площадь которого \(S\) вычисляется по формуле площади круга \(S = \pi r^2\). Подставляя выражение для \(r^2\), получаем формулу для площади сечения через радиус шара и расстояние до плоскости: \(S = \pi (R^2 — d^2)\).

а) Дано: радиус шара \(R = 12\) см, расстояние от центра до плоскости \(d = 8\) см.
Сначала убедимся, что сечение является окружностью, проверив условие \(R > d\). Так как \(12 > 8\), секущая плоскость и сфера пересекаются по окружности.
Найдем квадрат радиуса сечения по формуле \(r^2 = R^2 — d^2\). Подставляем значения: \(r^2 = 12^2 — 8^2 = 144 — 64 = 80\).
Теперь вычислим площадь сечения \(S\) по формуле \(S = \pi r^2\). Подставляем значение \(r^2\): \(S = \pi \cdot 80 = 80\pi\) см\(^2\).

б) Дано: площадь сечения \(S = 12\) см\(^2\), расстояние от центра до плоскости \(d = 2\) см.
Необходимо найти радиус шара \(R\). Используем формулу для площади сечения \(S = \pi (R^2 — d^2)\).
Подставляем известные значения: \(12 = \pi (R^2 — 2^2)\).
Упрощаем выражение в скобках: \(12 = \pi (R^2 — 4)\).
Раскрываем скобки: \(12 = \pi R^2 — 4\pi\).
Переносим член с \(4\pi\) в левую часть уравнения, чтобы выразить \(\pi R^2\): \(\pi R^2 = 12 + 4\pi\).
Делим обе части уравнения на \(\pi\), чтобы выразить \(R^2\): \(R^2 = \frac{12 + 4\pi}{\pi}\).
Разделяем дробь на два слагаемых: \(R^2 = \frac{12}{\pi} + \frac{4\pi}{\pi} = \frac{12}{\pi} + 4\).
Наконец, находим радиус \(R\), извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения: \(R = \sqrt{4 + \frac{12}{\pi}}\) см.