Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 381 Атанасян — Подробные Ответы
Отрезок ОН — высота тетраэдра ОАВС. Выясните взаимное расположение сферы радиуса R с центром О и плоскости АВС, если: а) \(R = 6\) дм, \(ОН = 60\) см; б) \(R = 3\) м, \(ОН = 95\) см; в) \(R = 5\) дм, \(ОН = 45\) см; г) \(R = 3,5\) дм, \(ОН = 40\) см.
а) \(R = 6\) дм \(=\) 60 см, \(d = 60\) см. Поскольку \(R = d\), сфера и плоскость имеют одну общую точку, то есть касаются.
б) \(R = 3\) м \(=\) 300 см, \(d = 95\) см. Поскольку \(R > d\), \(R^2 — d^2 > 0\), сфера и плоскость пересекаются по окружности.
в) \(R = 5\) дм \(=\) 50 см, \(d = 45\) см. Поскольку \(R > d\), \(R^2 — d^2 > 0\), сфера и плоскость пересекаются по окружности.
г) \(R = 3,5\) дм \(=\) 35 см, \(d = 40\) см. Поскольку \(R < d\), \(R^2 - d^2 < 0\), уравнение \(x^2 + y^2 = R^2 - d^2\) не имеет решений, то есть сфера и плоскость не имеют общих точек.
В соответствии с пунктом 60 рассмотрим уравнение \(x^2 + y^2 = R^2 — d^2\). Здесь \(R\) обозначает радиус сферы, а \(d\) обозначает расстояние от центра сферы до плоскости. Отрезок \(OH\) является высотой тетраэдра, и поскольку он перпендикулярен плоскости \(ABC\), его длина равна расстоянию \(d\) от центра сферы \(O\) до плоскости \(ABC\), то есть \(d = OH\).
а) Дано \(R = 6\) дм и \(OH = 60\) см. Переведем все единицы в одну систему, например, в дециметры: \(OH = 60\) см \(=\) 6 дм. Таким образом, \(d = 6\) дм. Сравнивая радиус сферы и расстояние от центра до плоскости, получаем \(R = 6\) дм и \(d = 6\) дм, то есть \(R = d\). В этом случае сфера и плоскость имеют ровно одну общую точку, что означает, что они касаются. Уравнение \(x^2 + y^2 = R^2 — d^2\) при \(R=d\) принимает вид \(x^2 + y^2 = 0\), что соответствует одной точке.
б) Дано \(R = 3\) м и \(OH = 95\) см. Переведем все единицы в метры: \(R = 3\) м, \(OH = 95\) см \(=\) 0,95 м. Таким образом, \(d = 0,95\) м. Сравнивая радиус сферы и расстояние от центра до плоскости, получаем \(R = 3\) м и \(d = 0,95\) м, то есть \(R > d\). В этом случае квадрат радиуса больше квадрата расстояния, \(R^2 — d^2 > 0\). Уравнение \(x^2 + y^2 = R^2 — d^2\) описывает окружность в плоскости сечения. Следовательно, сфера и плоскость основания тетраэдра пересекаются по окружности.
в) Дано \(R = 5\) дм и \(OH = 45\) см. Переведем все единицы в дециметры: \(R = 5\) дм, \(OH = 45\) см \(=\) 4,5 дм. Таким образом, \(d = 4,5\) дм. Сравнивая радиус сферы и расстояние от центра до плоскости, получаем \(R = 5\) дм и \(d = 4,5\) дм, то есть \(R > d\). В этом случае квадрат радиуса больше квадрата расстояния, \(R^2 — d^2 > 0\). Как и в случае б), сфера и плоскость пересекаются по окружности.
г) Дано \(R = 3,5\) дм и \(OH = 40\) см. Переведем все единицы в дециметры: \(R = 3,5\) дм, \(OH = 40\) см \(=\) 4 дм. Таким образом, \(d = 4\) дм. Сравнивая радиус сферы и расстояние от центра до плоскости, получаем \(R = 3,5\) дм и \(d = 4\) дм, то есть \(R < d\). В этом случае квадрат радиуса меньше квадрата расстояния, \(R^2 - d^2 < 0\). Уравнение \(x^2 + y^2 = R^2 - d^2\) не имеет действительных решений, поскольку правая часть отрицательна. Это означает, что плоскость \(ABC\) и сфера не имеют общих точек.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.