ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 379 Атанасян — Подробные Ответы

Все стороны треугольника АВС касаются сферы радиуса 5 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если \(АВ = 13\) см, \(ВС = 14\) см, \(СА = 15\) см.

Полупериметр треугольника равен \(p = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21\) см.
Площадь треугольника по формуле Герона равна \(S = \sqrt{p(p-13)(p-14)(p-15)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} =\)
\( =\sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84\) см².
Радиус вписанной окружности равен \(r = \frac{S}{p} = \frac{84}{21} = 4\) см.
Расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно \(h = \sqrt{R^2 — r^2}\), где \(R\) — радиус сферы, \(r\) — радиус вписанной окружности.
\(h = \sqrt{5^2 — 4^2} = \sqrt{25 — 16} = \sqrt{9} = 3\) см.

Задача аналогична задаче №538, но вместо треугольника PQR рассматривается треугольник ABC. Точка О₁ является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Радиус этой окружности обозначим как \(r\).

Сначала найдем полупериметр треугольника ABC. Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Полупериметр \(p\) вычисляется по формуле \(p = \frac{a+b+c}{2}\), где \(a, b, c\) — длины сторон.
\(p = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21\) см.

Далее найдем площадь треугольника ABC, используя формулу Герона. Формула Герона для площади \(S\) треугольника со сторонами \(a, b, c\) и полупериметром \(p\) имеет вид \(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\).
Подставляем значения: \(S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}\).
Разложим числа под корнем на простые множители для удобства извлечения квадратного корня: \(21 = 3 \cdot 7\), \(8 = 2^3\), \(7\), \(6 = 2 \cdot 3\).
\(S = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = \sqrt{(2^2)^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2} =\)
\(= 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 12 \cdot 7 = 84\) см².

Теперь найдем радиус \(r\) окружности, вписанной в треугольник ABC. Радиус вписанной окружности связан с площадью \(S\) и полупериметром \(p\) формулой \(r = \frac{S}{p}\).
Подставляем найденные значения: \(r = \frac{84}{21} = 4\) см.

Центр сферы, касающейся всех сторон треугольника, находится на перпендикуляре к плоскости треугольника, проходящем через центр вписанной окружности. Обозначим центр сферы как О, а центр вписанной окружности как О₁. Расстояние от центра сферы до плоскости треугольника — это длина отрезка ОО₁. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром сферы О, центром вписанной окружности О₁, и точкой касания F сферы со стороной треугольника. В этом треугольнике OF — радиус сферы \(R\), равный 5 см, O₁F — радиус вписанной окружности \(r\), равный 4 см, а ОО₁ — искомое расстояние.
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике OO₁F имеем \(OO₁^2 + O₁F^2 = OF^2\).
Отсюда \(OO₁^2 = OF^2 — O₁F^2\).
Подставляем значения радиуса сферы \(R=5\) см и радиуса вписанной окружности \(r=4\) см: \(OO₁^2 = 5^2 — 4^2 = 25 — 16 = 9\).
Следовательно, \(OO₁ = \sqrt{9} = 3\) см.

Таким образом, расстояние от центра сферы до плоскости треугольника составляет 3 см.