Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 370 Атанасян — Подробные Ответы
Дана трапеция ABCD, в которой \(\angle A = 90^\circ\), \(\angle D = 45^\circ\), BC = 4 см, CD = \(3\sqrt{2}\) см. Вычислите площади боковой и полной поверхностей усечённого конуса, образованного вращением данной трапеции вокруг стороны AB.
Проведем высоту CM к основанию AD. В прямоугольном треугольнике CMD угол D равен 45°, следовательно, CM = DM = \(CD \sin 45^\circ = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\) см. Так как ABCM является прямоугольником, AM = BC = 4 см и AB = CM = 3 см. Длина основания AD = AM + DM = 4 + 3 = 7 см. При вращении трапеции вокруг стороны AB образуется усеченный конус с радиусами оснований \(r_1 = BC = 4\) см и \(r_2 = AD = 7\) см, и образующей \(l = CD = 3\sqrt{2}\) см.
Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна \(S_{бок} = \pi (r_1 + r_2) l = \pi (4 + 7) 3\sqrt{2} = \pi \cdot 11 \cdot 3\sqrt{2} = 33\sqrt{2}\pi\).
Площадь полной поверхности усеченного конуса равна \(S_{полн} = S_{бок} + \pi r_1^2 + \pi r_2^2 = 33\sqrt{2}\pi + \pi (4^2 + 7^2) = 33\sqrt{2}\pi + \pi (16 + 49) = \)
\(=33\sqrt{2}\pi + 65\pi\).
Для решения задачи рассмотрим данную трапецию ABCD. Известно, что \(\angle A = 90^\circ\), \(\angle D = 45^\circ\), BC = 4 см и CD = \(3\sqrt{2}\) см. Трапеция вращается вокруг стороны AB. Поскольку \(\angle A = 90^\circ\), сторона AB перпендикулярна основаниям AD и BC, и AB является высотой трапеции. При вращении такой трапеции вокруг высоты AB образуется усеченный конус. Основаниями усеченного конуса будут круги с радиусами, равными длинам оснований трапеции BC и AD. Образующей усеченного конуса будет сторона CD.
Чтобы найти радиус большего основания AD, проведем высоту CM из вершины C к основанию AD. Поскольку AB перпендикулярно AD и BC, и CM перпендикулярно AD, четырехугольник ABCM является прямоугольником. Следовательно, CM = AB и AM = BC. В прямоугольном треугольнике CMD угол CMD равен 90°, а угол D равен 45°. Используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, найдем длины отрезков CM и DM.
Длина CM = \(CD \sin(\angle D) = 3\sqrt{2} \sin(45^\circ) = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3\) см.
Длина DM = \(CD \cos(\angle D) = 3\sqrt{2} \cos(45^\circ) = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3\) см.
Так как ABCM — прямоугольник, AM = BC = 4 см.
Длина основания AD = AM + DM = 4 см + 3 см = 7 см.
Таким образом, радиусы оснований усеченного конуса равны \(r_1 = BC = 4\) см и \(r_2 = AD = 7\) см. Высота усеченного конуса равна \(h = AB = CM = 3\) см. Образующая усеченного конуса равна \(l = CD = 3\sqrt{2}\) см.
Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле \(S_{бок} = \pi (r_1 + r_2) l\). Подставим найденные значения радиусов и образующей:
\(S_{бок} = \pi (4 + 7) 3\sqrt{2} = \pi (11) 3\sqrt{2} = 33\sqrt{2}\pi\) квадратных сантиметров.
Площадь полной поверхности усеченного конуса равна сумме площади боковой поверхности и площадей двух оснований. Площадь основания круга равна \(\pi r^2\).
Площадь меньшего основания \(S_{осн1} = \pi r_1^2 = \pi (4^2) = 16\pi\) квадратных сантиметров.
Площадь большего основания \(S_{осн2} = \pi r_2^2 = \pi (7^2) = 49\pi\) квадратных сантиметров.
Площадь полной поверхности \(S_{полн} = S_{бок} + S_{осн1} + S_{осн2}\).
\(S_{полн} = 33\sqrt{2}\pi + 16\pi + 49\pi = 33\sqrt{2}\pi + (16 + 49)\pi = 33\sqrt{2}\pi + 65\pi\) квадратных сантиметров.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.