Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 37 Атанасян — Подробные Ответы
Прямая \(t\) пересекает сторону \(AB\) треугольника \(ABC\). Каково взаимное расположение прямых \(t\) и \(BC\), если:
\(t\) лежит в плоскости \(ABC\) и не имеет общих точек с отрезком \(AC\);
\(t\) не лежит в плоскости \(ABC\).
Рассмотрим первый случай: если \(t \subset \text{плоскости} \, ABC\) и \(t \cap [AC] = \emptyset\), то \(t\) и \(BC\) лежат в одной плоскости. Поскольку \(t\) не параллельна \(BC\), они пересекаются.
Во втором случае: если \(t \not\subset \text{плоскости} \, ABC\) и \(t \cap ABC = D\), где \(D \notin BC\), то \(t\) и \(BC\) являются скрещивающимися прямыми, так как одна из них лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой.
Рассмотрим два случая, указанные в задаче.
Первый случай: \(\, t \subset \text{плоскости} \, ABC\) и \(t \cap [AC] = \emptyset\).
Прямая \(t\) лежит в плоскости треугольника \(ABC\), но не пересекает отрезок \(AC\). Это означает, что \(t\) не совпадает с прямой \(AC\) и не является параллельной ей. Предположим, что \(t \parallel BC\). Тогда, поскольку \(t\) и \(BC\) лежат в одной плоскости \(\, ABC\), они либо совпадают, либо не имеют общих точек. Однако \(t\) не пересекает \(AC\), что противоречит условию параллельности \(t\) и \(BC\), так как \(AC \cap BC \neq \emptyset\).
Следовательно, \(t\) не параллельна \(BC\). Поскольку \(t\) лежит в плоскости \(\, ABC\), она пересекает \(BC\) в некоторой точке, отличной от \(C\). Таким образом, \(t\) и \(BC\) пересекаются.
Второй случай: \(t \not\subset \text{плоскости} \, ABC\) и \(t \cap ABC = D\).
Прямая \(t\) не лежит в плоскости треугольника \(ABC\), но пересекает её в точке \(D\), которая не принадлежит отрезку \(BC\). В этом случае мы можем воспользоваться теоремой: если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то такие прямые являются скрещивающимися.
Прямая \(BC\) лежит в плоскости \(\, ABC\), а прямая \(t\) пересекает эту плоскость в точке \(D\), причём \(D \notin BC\). Следовательно, прямые \(t\) и \(BC\) являются скрещивающимися.
Ответ:
1. В первом случае (\(t \subset \text{плоскости} \, ABC\)) прямые \(t\) и \(BC\) пересекаются.
2. Во втором случае (\(t \not\subset \text{плоскости} \, ABC\)) прямые \(t\) и \(BC\) скрещиваются.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.