Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 369 Атанасян — Подробные Ответы
Радиусы оснований усечённого конуса равны R и r, где \(R>r\), а образующая составляет с плоскостью основания угол в \(45^\circ\). Найдите площадь осевого сечения.
Поскольку секущая плоскость проходит через середину высоты конуса параллельно основанию, образовавшийся малый конус подобен исходному конусу с коэффициентом подобия \(k = \frac{1}{2}\). Радиус основания малого конуса равен \(r = \frac{1}{2}r_1\), а его образующая равна \(L = \frac{1}{2}L_1\), где \(r_1\) и \(L_1\) — радиус основания и образующая исходного конуса соответственно. Площадь боковой поверхности исходного конуса равна \(S_{бок\_1} = \pi r_1 L_1 = 80\). Усечённый конус имеет радиусы оснований \(r_1\) и \(r = \frac{1}{2}r_1\), а его образующая равна \(L_{усеч} = L_1 — L = L_1 — \frac{1}{2}L_1 = \frac{1}{2}L_1\).
Площадь боковой поверхности усечённого конуса находится по формуле \(S_{бок\_усеч} = \pi (r + r_1) L_{усеч}\). Подставляя значения, получаем \(S_{бок\_усеч} = \pi (\frac{1}{2}r_1 + r_1) (\frac{1}{2}L_1) = \pi (\frac{3}{2}r_1) (\frac{1}{2}L_1) = \frac{3}{4} \pi r_1 L_1\). Поскольку \(\pi r_1 L_1 = 80\), то \(S_{бок\_усеч} = \frac{3}{4} \times 80 = 60\). Ответ: площадь боковой поверхности усечённого конуса равна 60 см\(^2\).
Дано: площадь боковой поверхности исходного конуса \(S_{бок\_1} = 80\) см\(^2\). Плоскость сечения проходит через середину высоты конуса перпендикулярно ей. Найти: площадь боковой поверхности образовавшегося усечённого конуса \(S_{бок\_усеч}\).
Решение:
Пусть исходный конус имеет высоту \(H\), радиус основания \(r_1\) и образующую \(L_1\). Площадь его боковой поверхности задается формулой \(S_{бок\_1} = \pi r_1 L_1\). По условию, \(S_{бок\_1} = \pi r_1 L_1 = 80\).
Секущая плоскость проходит через середину высоты конуса и перпендикулярна ей. Это означает, что плоскость параллельна основанию конуса. Такая плоскость отсекает от исходного конуса меньший конус, подобный исходному, а оставшаяся часть является усечённым конусом.
Высота малого конуса, образованного секущей плоскостью, равна половине высоты исходного конуса, то есть \(h = \frac{H}{2}\). Поскольку малый конус подобен исходному, коэффициент подобия равен отношению их высот: \(k = \frac{h}{H} = \frac{H/2}{H} = \frac{1}{2}\).
Из подобия следует, что все линейные размеры малого конуса относятся к соответствующим линейным размерам исходного конуса с тем же коэффициентом подобия \(k = \frac{1}{2}\). Таким образом, радиус основания малого конуса \(r_2\) равен половине радиуса основания исходного конуса: \(r_2 = k \cdot r_1 = \frac{1}{2}r_1\). Образующая малого конуса \(L_2\) равна половине образующей исходного конуса: \(L_2 = k \cdot L_1 = \frac{1}{2}L_1\).
Усечённый конус, образовавшийся в результате сечения, имеет два основания с радиусами \(r_1\) (радиус основания исходного конуса) и \(r_2\) (радиус основания малого конуса). Образующая усечённого конуса \(L_{усеч}\) равна разности образующих исходного и малого конусов: \(L_{усеч} = L_1 — L_2\). Подставляя значение \(L_2 = \frac{1}{2}L_1\), получаем \(L_{усеч} = L_1 — \frac{1}{2}L_1 = \frac{1}{2}L_1\).
Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле \(S_{бок\_усеч} = \pi (r_1 + r_2) L_{усеч}\). Подставим в эту формулу найденные значения радиуса \(r_2\) и образующей \(L_{усеч}\):
\(S_{бок\_усеч} = \pi (r_1 + \frac{1}{2}r_1) (\frac{1}{2}L_1)\).
Сложим радиусы в скобках: \(r_1 + \frac{1}{2}r_1 = \frac{3}{2}r_1\).
Теперь подставим это обратно в формулу для площади боковой поверхности усечённого конуса:
\(S_{бок\_усеч} = \pi (\frac{3}{2}r_1) (\frac{1}{2}L_1)\).
Перемножим коэффициенты и перегруппируем множители:
\(S_{бок\_усеч} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \pi r_1 L_1 = \frac{3}{4} \pi r_1 L_1\).
Мы знаем из условия задачи, что площадь боковой поверхности исходного конуса равна \(S_{бок\_1} = \pi r_1 L_1 = 80\). Подставим это значение в полученную формулу для \(S_{бок\_усеч}\):
\(S_{бок\_усеч} = \frac{3}{4} \cdot 80\).
Вычислим окончательное значение:
\(S_{бок\_усеч} = \frac{3 \times 80}{4} = \frac{240}{4} = 60\).
Таким образом, площадь боковой поверхности образовавшегося усечённого конуса равна 60 см\(^2\).
Ответ: 60 см\(^2\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.