ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 366 Атанасян — Подробные Ответы

Найдите образующую усечённого конуса, если радиусы оснований равны 3 см и 6 см, а высота равна 4 см.

Для нахождения образующей \(L\) усеченного конуса рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса \(H\), разностью радиусов оснований \(r_2 — r_1\) и образующей \(L\).

По теореме Пифагора имеем \(L^2 = H^2 + (r_2 — r_1)^2\).
Дано: \(H = 4\) см, \(r_1 = 3\) см, \(r_2 = 6\) см.
Разность радиусов составляет \(r_2 — r_1 = 6 — 3 = 3\) см.
Подставим значения в формулу: \(L^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25\).
Следовательно, \(L = \sqrt{25} = 5\) см.
Ответ: \(L = 5\) см.

Для решения данной задачи нам необходимо найти образующую усеченного конуса. У нас есть усеченный конус с высотой \(H\), радиусом меньшего основания \(r_1\) и радиусом большего основания \(r_2\). Образующая усеченного конуса \(L\) — это отрезок, соединяющий соответствующие точки окружностей оснований.

Представим осевое сечение усеченного конуса. Это равнобочная трапеция. Высота трапеции равна высоте конуса \(H\), а основания трапеции равны диаметрам оснований конуса, то есть \(2r_1\) и \(2r_2\). Боковые стороны трапеции являются образующими усеченного конуса \(L\).

Чтобы найти образующую \(L\), мы можем опустить перпендикуляр из вершины верхнего основания трапеции на нижнее основание. Этот перпендикуляр будет равен высоте конуса \(H\). При этом на нижнем основании отсекается отрезок, равный разности радиусов оснований \(r_2 — r_1\). Таким образом, образуется прямоугольный треугольник, в котором одним катетом является высота конуса \(H\), другим катетом — разность радиусов оснований \(r_2 — r_1\), а гипотенузой — образующая усеченного конуса \(L\).

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Применительно к нашему прямоугольному треугольнику это означает, что \(L^2 = H^2 + (r_2 — r_1)^2\).

В данной задаче нам даны следующие значения:
Высота усеченного конуса \(H = 4\) см.
Радиус меньшего основания \(r_1 = 3\) см.
Радиус большего основания \(r_2 = 6\) см.

Сначала найдем разность радиусов оснований: \(r_2 — r_1 = 6 \text{ см} — 3 \text{ см} = 3\) см.

Теперь подставим известные значения \(H\) и \((r_2 — r_1)\) в формулу теоремы Пифагора для нахождения \(L\):
\(L^2 = (4 \text{ см})^2 + (3 \text{ см})^2\)
\(L^2 = 16 \text{ см}^2 + 9 \text{ см}^2\)
\(L^2 = 25 \text{ см}^2\)

Чтобы найти \(L\), извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
\(L = \sqrt{25 \text{ см}^2}\)
\(L = 5\) см.

Таким образом, образующая усеченного конуса равна 5 см.

Ответ: \(L = 5\) см.