ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 365 Атанасян — Подробные Ответы

Равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна m, а угол при основании равен \(\phi\), вращается вокруг основания. Найдите площадь поверхности тела, полученного при вращении треугольника.

Радиус основания конуса \(r\) равен высоте равнобедренного треугольника, опущенной на основание. Боковая сторона треугольника \(m\) является образующей конуса \(l\). Угол при основании треугольника \(\phi\).
Тогда \(r = m \sin\phi\) и \(l = m\).
Площадь боковой поверхности одного конуса \(S_{\text{бок}} = \pi r l = \pi (m \sin\phi) m = \pi m^2 \sin\phi\).
Тело вращения состоит из двух таких конусов, поэтому полная площадь поверхности тела вращения \(S_{\text{пов}} = 2 S_{\text{бок}} = 2 \pi m^2 \sin\phi\).

Рассмотрим равнобедренный треугольник с боковой стороной \(m\) и углом при основании \(\phi\). Когда этот треугольник вращается вокруг своего основания, образуется тело вращения, состоящее из двух одинаковых конусов, соединенных своими основаниями.

Основание равнобедренного треугольника становится осью вращения. Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, становится радиусом основания каждого из конусов. Боковая сторона равнобедренного треугольника становится образующей каждого из конусов.

Найдем радиус основания конуса, который обозначим как \(r\). В равнобедренном треугольнике высота к основанию делит его на два равных прямоугольных треугольника. В таком прямоугольном треугольнике гипотенуза равна боковой стороне исходного равнобедренного треугольника, то есть \(m\). Угол при основании исходного треугольника \(\phi\) является одним из острых углов этого прямоугольного треугольника. Высота, которая является радиусом основания конуса \(r\), находится напротив угла \(\phi\). Следовательно, используя определение синуса в прямоугольном треугольнике (\(\sin(\text{угол}) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}\)), получаем \(r = m \sin\phi\).

Образующая конуса \(l\) равна боковой стороне исходного равнобедренного треугольника, то есть \(l = m\).

Площадь боковой поверхности одного конуса вычисляется по формуле \(S_{\text{бок}} = \pi r l\). Подставим найденные значения \(r\) и \(l\) в эту формулу: \(S_{\text{бок}} = \pi (m \sin\phi) m = \pi m^2 \sin\phi\).

Тело вращения состоит из двух таких конусов, соединенных по их основаниям. Площадь поверхности тела вращения включает только боковые поверхности этих двух конусов, так как их основания находятся внутри тела и не являются частью внешней поверхности. Поэтому полная площадь поверхности тела вращения \(S_{\text{пов}}\) равна удвоенной площади боковой поверхности одного конуса: \(S_{\text{пов}} = 2 \times S_{\text{бок}}\).

Подставим значение \(S_{\text{бок}}\): \(S_{\text{пов}} = 2 (\pi m^2 \sin\phi) = 2 \pi m^2 \sin\phi\).

Таким образом, площадь поверхности тела, полученного при вращении равнобедренного треугольника вокруг основания, равна \(2 \pi m^2 \sin\phi\).