Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 363 Атанасян — Подробные Ответы
Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом \(\phi\). В основание конуса вписан треугольник, у которого одна сторона равна а, а противолежащий угол равен \(\alpha\). Найдите площадь полной поверхности конуса.
По теореме синусов радиус основания конуса \(R = \frac{a}{2 \sin \alpha}\). Образующая конуса \(L\) связана с радиусом основания и углом \(\phi\) соотношением \(L = \frac{R}{\cos \phi}\). Подставляя выражение для \(R\), получаем \(L = \frac{a}{2 \sin \alpha \cos \phi}\). Площадь полной поверхности конуса равна сумме площади основания и площади боковой поверхности: \(S_{\text{полн}} = \pi R^2 + \pi RL = \pi R(R+L)\). Подставляя выражения для \(R\) и \(L\), находим \(S_{\text{полн}} = \pi \frac{a}{2 \sin \alpha} \left(\frac{a}{2 \sin \alpha} + \frac{a}{2 \sin \alpha \cos \phi}\right) = \frac{\pi a^2}{4 \sin^2 \alpha} \left(1 + \frac{1}{\cos \phi}\right) = \frac{\pi a^2 (1 + \cos \phi)}{4 \sin^2 \alpha \cos \phi}\).
Решение задачи начинается с определения формулы площади полной поверхности конуса. Площадь полной поверхности конуса \(S_{\text{полн}}\) состоит из площади основания \(S_{\text{осн}}\) и площади боковой поверхности \(S_{\text{бок}}\). Площадь основания, являющегося кругом радиуса \(R\), равна \(S_{\text{осн}} = \pi R^2\). Площадь боковой поверхности конуса с радиусом основания \(R\) и образующей \(L\) равна \(S_{\text{бок}} = \pi R L\). Таким образом, площадь полной поверхности конуса выражается формулой \(S_{\text{полн}} = \pi R^2 + \pi R L = \pi R (R+L)\). Для нахождения площади полной поверхности конуса необходимо определить радиус основания \(R\) и образующую \(L\) через заданные в условии величины \(a\), \(\alpha\) и \(\phi\).
В основание конуса вписан треугольник. Одна сторона этого треугольника равна \(a\), а противолежащий ей угол равен \(\alpha\). Поскольку треугольник вписан в основание конуса, окружность основания конуса является описанной окружностью для этого треугольника. По теореме синусов для любого треугольника отношение длины стороны к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности. В данном случае, для стороны \(a\) и противолежащего угла \(\alpha\), мы имеем \(\frac{a}{\sin \alpha} = 2R\), где \(R\) — радиус описанной окружности, то есть радиус основания конуса. Из этого соотношения выразим радиус основания \(R\): \(R = \frac{a}{2 \sin \alpha}\).
Далее необходимо найти образующую конуса \(L\). По условию образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом \(\phi\). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса \(h\), радиусом основания \(R\) и образующей \(L\). В этом треугольнике радиус основания \(R\) является катетом, прилежащим к углу \(\phi\), а образующая \(L\) является гипотенузой. Связь между этими элементами выражается через косинус угла \(\phi\): \(\cos \phi = \frac{R}{L}\). Из этого уравнения выразим образующую \(L\): \(L = \frac{R}{\cos \phi}\).
Теперь подставим найденное выражение для радиуса основания \(R\) в формулу для образующей \(L\): \(L = \frac{\frac{a}{2 \sin \alpha}}{\cos \phi} = \frac{a}{2 \sin \alpha \cos \phi}\).
Теперь у нас есть выражения для радиуса основания \(R\) и образующей \(L\) через заданные величины \(a\), \(\alpha\) и \(\phi\). Подставим эти выражения в формулу площади полной поверхности конуса \(S_{\text{полн}} = \pi R (R+L)\):
\(S_{\text{полн}} = \pi \left(\frac{a}{2 \sin \alpha}\right) \left(\frac{a}{2 \sin \alpha} + \frac{a}{2 \sin \alpha \cos \phi}\right)\).
Вынесем общий множитель \(\frac{a}{2 \sin \alpha}\) из скобок:
\(S_{\text{полн}} = \pi \frac{a}{2 \sin \alpha} \cdot \frac{a}{2 \sin \alpha} \left(1 + \frac{1}{\cos \phi}\right)\).
Упростим выражение:
\(S_{\text{полн}} = \frac{\pi a^2}{4 \sin^2 \alpha} \left(1 + \frac{1}{\cos \phi}\right)\).
Для дальнейшего упрощения приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
\(1 + \frac{1}{\cos \phi} = \frac{\cos \phi}{\cos \phi} + \frac{1}{\cos \phi} = \frac{\cos \phi + 1}{\cos \phi}\).
Подставим это обратно в выражение для \(S_{\text{полн}}\):
\(S_{\text{полн}} = \frac{\pi a^2}{4 \sin^2 \alpha} \left(\frac{1 + \cos \phi}{\cos \phi}\right)\).
Окончательно получаем формулу для площади полной поверхности конуса:
\(S_{\text{полн}} = \frac{\pi a^2 (1 + \cos \phi)}{4 \sin^2 \alpha \cos \phi}\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.