ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 361 Атанасян — Подробные Ответы

Угол между образующей и осью конуса равен \(45^\circ\), образующая равна 6,5 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Дано: образующая конуса \(L = 6.5\) см, угол между образующей и осью конуса \(45^\circ\).
Найти: площадь боковой поверхности конуса \(S_{\text{бок}}\).
Решение: радиус основания конуса \(r\) связан с образующей \(L\) и углом \(45^\circ\) соотношением \(r = L \sin(45^\circ)\).
Подставляя значение \(L\), получаем \(r = 6.5 \sin(45^\circ) = 6.5 \frac{\sqrt{2}}{2}\) см.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле \(S_{\text{бок}} = \pi r L\).
Подставляем значения \(r\) и \(L\): \(S_{\text{бок}} = \pi \left(6.5 \frac{\sqrt{2}}{2}\right) 6.5 = \pi \frac{6.5 \cdot 6.5 \sqrt{2}}{2} = \pi \frac{42.25 \sqrt{2}}{2} = 21.125 \pi \sqrt{2}\) \(см^2\).
Ответ: \(21.125 \pi \sqrt{2}\) \(см^2\).

Дано: образующая конуса \(L = 6.5\) см, угол между образующей и осью конуса равен \(45^\circ\).
Найти: площадь боковой поверхности конуса \(S_{\text{бок}}\).

Решение:
Рассмотрим осевое сечение конуса, которое представляет собой равнобедренный треугольник. Ось конуса является высотой этого треугольника. Образующие конуса являются боковыми сторонами этого треугольника. Угол между образующей и осью конуса дан как \(45^\circ\). В прямоугольном треугольнике, образованном высотой конуса (осью), радиусом основания и образующей, образующая является гипотенузой, высота — катетом, прилежащим к углу \(45^\circ\), а радиус основания — катетом, противолежащим углу \(45^\circ\).

Используя тригонометрическое соотношение для синуса в прямоугольном треугольнике, мы можем найти радиус основания \(r\). Синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. В данном случае, противолежащий катет — это радиус основания \(r\), а гипотенуза — это образующая \(L\). Таким образом, мы имеем соотношение \(\sin(45^\circ) = \frac{r}{L}\).

Из этого соотношения выразим радиус \(r\): \(r = L \sin(45^\circ)\).
Подставим данное значение образующей \(L = 6.5\) см и значение \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\):
\(r = 6.5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\) см.
Это значение радиуса основания конуса.

Теперь найдем площадь боковой поверхности конуса. Формула для площади боковой поверхности конуса имеет вид \(S_{\text{бок}} = \pi r L\), где \(\pi\) — математическая константа (приближенно равная 3.14159), \(r\) — радиус основания, и \(L\) — длина образующей.

Подставим найденное значение радиуса \(r = 6.5 \frac{\sqrt{2}}{2}\) и данное значение образующей \(L = 6.5\) в формулу площади боковой поверхности:
\(S_{\text{бок}} = \pi \left(6.5 \frac{\sqrt{2}}{2}\right) (6.5)\).

Выполним умножение:
\(S_{\text{бок}} = \pi \cdot \frac{6.5 \cdot 6.5 \cdot \sqrt{2}}{2}\).
Вычислим произведение \(6.5 \cdot 6.5\):
\(6.5 \cdot 6.5 = 42.25\).
Теперь подставим это значение обратно в формулу:
\(S_{\text{бок}} = \pi \cdot \frac{42.25 \cdot \sqrt{2}}{2}\).
Разделим \(42.25\) на \(2\):
\(42.25 / 2 = 21.125\).
Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна:
\(S_{\text{бок}} = 21.125 \pi \sqrt{2}\) \(см^2\).

Ответ: Площадь боковой поверхности конуса составляет \(21.125 \pi \sqrt{2}\) \(см^2\).