ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 358 Атанасян — Подробные Ответы

Найдите дугу сектора, представляющего собой развёртку боковой поверхности конуса, если образующая конуса составляет с плоскостью основания угол в \(60^\circ\).

Радиус основания конуса равен \(r = L \cos 60^\circ = L \cdot \frac{1}{2} = \frac{L}{2}\). Площадь боковой поверхности конуса равна \(S_{бок} = \pi r L\). Развертка боковой поверхности представляет собой круговой сектор с радиусом \(L\) и углом \( \alpha \).

Площадь этого сектора равна \(S_{сектор} = \frac{\pi L^2 \alpha}{360^\circ}\). Приравнивая площади, получаем \( \frac{\pi L^2 \alpha}{360^\circ} = \pi r L \). Отсюда выражаем \( \alpha \): \( \alpha = \frac{360^\circ \pi r L}{\pi L^2} = \frac{360^\circ r}{L} \). Подставляя \( r = \frac{L}{2} \), находим \( \alpha = \frac{360^\circ (L/2)}{L} = \frac{360^\circ}{2} = 180^\circ \).

Дано: конус, образующая \(L\), угол между образующей и плоскостью основания составляет \(60^\circ\). Требуется найти градусную меру угла \( \alpha \) развертки боковой поверхности конуса.

Решение:
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный образующей конуса \(L\), радиусом основания \(r\) и высотой конуса \(H\). Угол между образующей и плоскостью основания равен \(60^\circ\). В этом прямоугольном треугольнике радиус основания \(r\) является прилежащим катетом к углу \(60^\circ\), а образующая \(L\) является гипотенузой. Используя определение косинуса в прямоугольном треугольнике, получаем соотношение \( \cos 60^\circ = \frac{r}{L} \).

Из этого соотношения выразим радиус основания \(r\): \( r = L \cos 60^\circ \). Поскольку \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \), получаем \( r = L \cdot \frac{1}{2} = \frac{L}{2} \).

Боковая поверхность конуса при развертке на плоскость представляет собой круговой сектор. Радиус этого сектора равен образующей конуса \(L\). Длина дуги этого сектора равна длине окружности основания конуса. Длина окружности основания конуса вычисляется по формуле \( C = 2 \pi r \). Подставляя найденное значение \( r = \frac{L}{2} \), получаем \( C = 2 \pi \left( \frac{L}{2} \right) = \pi L \).

Длина дуги кругового сектора с радиусом \(L\) и центральным углом \( \alpha \) (измеренным в градусах) вычисляется по формуле \( \text{Длина дуги} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2 \pi L \).

Приравнивая длину дуги сектора к длине окружности основания конуса, получаем уравнение: \( \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2 \pi L = \pi L \).

Теперь решим это уравнение относительно \( \alpha \). Для этого разделим обе части уравнения на \( \pi L \) (при условии, что \( L \neq 0 \), что верно для конуса): \( \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2 = 1 \).

Далее, умножим обе части на \( 360^\circ \): \( \alpha \cdot 2 = 360^\circ \).

Наконец, разделим обе части на 2, чтобы найти \( \alpha \): \( \alpha = \frac{360^\circ}{2} = 180^\circ \).

Таким образом, градусная мера угла развертки боковой поверхности конуса составляет \(180^\circ\).