Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 351 Атанасян — Подробные Ответы
Высота конуса равна h, а угол между высотой и образующей конуса равен \(60^\circ\). Найдите площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две взаимно перпендикулярные образующие.
Рассмотрим треугольник АОВ, чтобы найти длину образующей. Известно, что АОВ — прямоугольный треугольник, \( \angle BAO = 60^\circ \) и \( \angle ABO = 30^\circ \). Катет, лежащий напротив угла \( 30^\circ \), равен половине гипотенузы, соответственно \( AB = 2AO = 2h \). Площадь \( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = 2h^2 \).
Рассмотрим треугольник АОВ, где А является вершиной конуса, О — центром основания, а В — точкой на окружности основания. В данном случае АОВ представляет собой прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине О, так как высота конуса перпендикулярна плоскости основания. Нам даны углы этого треугольника: \( \angle BAO = 60^\circ \) и \( \angle ABO = 30^\circ \). Сумма этих углов составляет \( 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ \), что в сумме с прямым углом \( \angle AOB = 90^\circ \) дает \( 180^\circ \), подтверждая, что АОВ — прямоугольный треугольник.
В прямоугольном треугольнике с углами \( 30^\circ \), \( 60^\circ \), \( 90^\circ \) существует свойство, согласно которому катет, лежащий напротив угла в \( 30^\circ \), равен половине длины гипотенузы. В треугольнике АОВ углом в \( 30^\circ \) является \( \angle ABO \). Катетом, лежащим напротив этого угла, является сторона АО, которая представляет собой высоту конуса, обозначим ее как \( h \). Гипотенузой в этом треугольнике является сторона AB, которая является образующей конуса.
Согласно свойству треугольника \( 30^\circ \)- \( 60^\circ \)- \( 90^\circ \), имеем соотношение: длина катета АО равна половине длины гипотенузы AB. Математически это записывается как \( AO = \frac{1}{2} AB \).
Чтобы найти длину образующей AB, выразим ее из этого соотношения: \( AB = 2 \cdot AO \). Подставляя \( AO = h \) (высоту конуса), получаем, что длина образующей AB равна \( 2h \). Таким образом, \( AB = 2AO = 2h \).
Далее в примере приводится вычисление некоторой площади S по формуле \( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \). Предполагается, что S — это площадь треугольника ABC, где AB и AC являются образующими конуса. В конусе все образующие равны, поэтому \( AC = AB \).
Подставим найденное значение длины образующей \( AB = 2h \) и \( AC = 2h \) в формулу для площади S: \( S = \frac{1}{2} \cdot (2h) \cdot (2h) \).
Выполним умножение: \( S = \frac{1}{2} \cdot 4h^2 \).
Сократим множители: \( S = 2h^2 \).
Таким образом, получаем, что длина образующей конуса равна \( 2h \), и некоторая площадь S, рассчитанная по формуле \( \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \), равна \( 2h^2 \), что соответствует представленному примеру решения.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.