Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 35 Атанасян — Подробные Ответы
Через точку \(M\), не лежащую на прямой \(a\), проведены две прямые, не имеющие общих точек с прямой \(a\). Докажите, что по крайней мере одна из этих прямых и прямая \(a\) являются скрещивающимися прямыми.
Пусть \(a\) и \(b\) не скрещивающиеся, а также \(a\) и \(c\) не скрещивающиеся. Это означает, что \(a \parallel b\) и \(a \parallel c\) (так как прямые \(a\), \(b\), \(c\) не пересекаются). Тогда из свойства параллельных прямых следует, что \(b \parallel c\).
Однако \(b\) и \(c\) пересекаются в точке \(M\), то есть \(b \cap c = M\). Это противоречие. Следовательно, наше предположение неверно, и по крайней мере одна из пар прямых \((a, b)\) или \((a, c)\) является парой скрещивающихся прямых.
Что и требовалось доказать.
Рассмотрим точку \(M\), которая не лежит на прямой \(a\). Через \(M\) проведены две прямые \(b\) и \(c\), которые также не пересекают прямую \(a\). Требуется доказать, что либо \(a\) и \(b\), либо \(a\) и \(c\) являются скрещивающимися прямыми.
Предположим противное: ни \(a\) и \(b\), ни \(a\) и \(c\) не являются скрещивающимися. Это означает, что \(a\) и \(b\), а также \(a\) и \(c\) либо пересекаются, либо параллельны.
1. Если \(a \parallel b\) и \(a \parallel c\), то, по свойству параллельных прямых, \(b \parallel c\) (две прямые, параллельные одной и той же прямой, параллельны друг другу). Однако это противоречит условию, что прямые \(b\) и \(c\) пересекаются в точке \(M\), так как \(b \cap c = M\).
2. Если \(a\) пересекает \(b\) в некоторой точке \(P\), то \(P \in a \cap b\). Но прямая \(b\) проходит через точку \(M\), которая, по условию, не лежит на \(a\). Это противоречие, так как \(b\) не может одновременно пересекать \(a\) и проходить через \(M\), не лежащую на \(a\).
3. Аналогично, если \(a\) пересекает \(c\) в точке \(Q\), то \(Q \in a \cap c\). Но \(c\) также проходит через точку \(M\), которая не лежит на \(a\). Это снова противоречие.
Таким образом, наше предположение о том, что ни \(a\) и \(b\), ни \(a\) и \(c\) не являются скрещивающимися, неверно. Следовательно, по крайней мере одна из пар прямых \((a, b)\) или \((a, c)\) является парой скрещивающихся прямых.
Что и требовалось доказать.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.