ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 349 Атанасян — Подробные Ответы

Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник. Найдите площадь этого сечения, если радиус основания конуса равен 5 см.

Дано \(\angle BAC = 90^\circ\), \(BC = 2R = 10\) см, \(AB = AC\).

Из \(\sqrt{AB^2 + AC^2} = BC\) следует \(\sqrt{AB^2 + AB^2} = 10\), что дает \(\sqrt{2AB^2} = 10\) или \(AB\sqrt{2} = 10\). Отсюда \(AB = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}\) см. Так как O центр основания, \(OB = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5\) см. В прямоугольном треугольнике AOB по теореме Пифагора \(AO^2 + OB^2 = AB^2\), то есть \(AO^2 + 5^2 = (5\sqrt{2})^2\). Получаем \(AO^2 + 25 = 50\), откуда \(AO^2 = 25\) и \(AO = 5\) см. Следовательно, \(AO \cdot OB = 5 \cdot 5 = 25\) см².

Дано, что в конусе угол при вершине \(A\) в осевом сечении \(\angle BAC = 90^\circ\), а хорда \(BC\) равна диаметру основания \(2R\) и составляет 10 см. Также известно, что образующие \(AB\) и \(AC\) равны (\(AB = AC\)). Поскольку осевое сечение является равнобедренным треугольником \(ABC\) с углом при вершине \(90^\circ\), он является прямоугольным и равнобедренным.

Первый шаг — найти длину образующей \(AB\). В прямоугольном треугольнике \(ABC\) по теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Гипотенузой является \(BC\), а катетами — \(AB\) и \(AC\). Поскольку \(AB = AC\), мы можем записать теорему Пифагора как \(AB^2 + AC^2 = BC^2\), что эквивалентно \(AB^2 + AB^2 = 10^2\). Это упрощается до \(2AB^2 = 100\), затем \(AB^2 = 50\). Извлекая квадратный корень, получаем \(AB = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\) см. Таким образом, длина образующей \(AB\) (и \(AC\)) составляет \(5\sqrt{2}\) см.

Второй шаг — найти радиус основания \(OB\). Хорда \(BC\) является диаметром основания, так как \(\angle BAC = 90^\circ\) и \(BC\) проходит через центр основания \(O\). Следовательно, радиус \(OB\) равен половине диаметра \(BC\). \(OB = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5\) см.

Третий шаг — найти высоту конуса \(AO\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(AOB\), где \(AO\) — высота, \(OB\) — радиус основания, а \(AB\) — образующая. По теореме Пифагора в этом треугольнике \(AO^2 + OB^2 = AB^2\). Подставляем известные значения: \(AO^2 + 5^2 = (5\sqrt{2})^2\). Это дает \(AO^2 + 25 = 50\). Вычитая 25 из обеих сторон, получаем \(AO^2 = 25\). Извлекая квадратный корень, находим высоту \(AO = 5\) см.

Четвертый шаг — вычислить произведение \(AO \cdot OB\). Мы нашли, что \(AO = 5\) см и \(OB = 5\) см. Их произведение равно \(AO \cdot OB = 5 \cdot 5 = 25\) см².