Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 345 Атанасян — Подробные Ответы
Один цилиндр получен вращением прямоугольника ABCD вокруг прямой AB, а другой цилиндр — вращением этого же прямоугольника вокруг прямой BC. а) Докажите, что площади боковых поверхностей этих цилиндров равны. б) Найдите отношение площадей полных поверхностей этих цилиндров, если AB = a, BC = b.
Площадь боковой поверхности первого цилиндра: \(2\pi \cdot AD \cdot CD\). Площадь боковой поверхности второго цилиндра: \(2\pi \cdot CD \cdot AD\). Очевидно, они равны. Как мы выяснили в предыдущем пункте, площадь боковой поверхности для обоих цилиндров одинакова и равна \(2\pi \cdot AD \cdot CD = 2\pi ab\). Отношение площадей полных поверхностей: \(\frac{S_1}{S_2} = \frac{2\pi ab + 2\pi b^2}{2\pi ab + 2\pi a^2} = \frac{\pi b (a+b)}{\pi a (b+a)} = \frac{b}{a}\).
Решение задачи состоит из двух частей.
В части а) требуется найти площади боковых поверхностей первого и второго цилиндров и сравнить их. Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле \(2\pi r h\), где \(r\) — радиус основания, а \(h\) — высота цилиндра. Для первого цилиндра радиус основания равен \(AD\), а высота — \(CD\). Следовательно, площадь его боковой поверхности равна \(2\pi \cdot AD \cdot CD\). Для второго цилиндра радиус основания равен \(CD\), а высота — \(AD\). Следовательно, площадь его боковой поверхности равна \(2\pi \cdot CD \cdot AD\). Поскольку умножение коммутативно, \(AD \cdot CD = CD \cdot AD\), отсюда следует, что \(2\pi \cdot AD \cdot CD = 2\pi \cdot CD \cdot AD\). Таким образом, площади боковых поверхностей первого и второго цилиндров равны.
В части б) требуется найти отношение полных площадей поверхностей этих цилиндров. Как было установлено в части а), площадь боковой поверхности для обоих цилиндров одинакова и равна \(2\pi \cdot AD \cdot CD\). Обозначим \(AD = a\) и \(CD = b\). Тогда площадь боковой поверхности равна \(2\pi ab\). Полная площадь поверхности цилиндра складывается из площади боковой поверхности и площадей двух оснований. Площадь основания круга равна \(\pi r^2\). Для расчета отношения полных площадей поверхностей, обозначенных как \(S_1\) и \(S_2\), используются формулы \(S_1 = 2\pi ab + 2\pi b^2\) и \(S_2 = 2\pi ab + 2\pi a^2\). Заметим, что формула для \(S_1\) соответствует цилиндру с радиусом \(b\) и высотой \(a\) (боковая поверхность \(2\pi b a = 2\pi ab\), площади оснований \(2 \cdot \pi b^2 = 2\pi b^2\)), а формула для \(S_2\) соответствует цилиндру с радиусом \(a\) и высотой \(b\) (боковая поверхность \(2\pi a b\), площади оснований \(2 \cdot \pi a^2 = 2\pi a^2\)). Найдем отношение \(S_1\) к \(S_2\): \(\frac{S_1}{S_2} = \frac{2\pi ab + 2\pi b^2}{2\pi ab + 2\pi a^2}\). Вынесем общие множители в числителе и знаменателе. В числителе можно вынести \(2\pi b\), получим \(2\pi b (a+b)\). В знаменателе можно вынести \(2\pi a\), получим \(2\pi a (b+a)\). Тогда отношение примет вид: \(\frac{S_1}{S_2} = \frac{2\pi b (a+b)}{2\pi a (b+a)}\). Поскольку \(a+b = b+a\), мы можем сократить члены \(2\pi\) и \((a+b)\) в числителе и знаменателе. В результате получаем: \(\frac{S_1}{S_2} = \frac{b}{a}\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.