ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 341 Атанасян — Подробные Ответы

Угол между образующей цилиндра и диагональю осевого сечения равен \(\phi\), площадь основания цилиндра равна S. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

\(\pi R^2 = S \rightarrow R = \sqrt{\frac{S}{\pi}}\)
\(\text{l}_0 = 2\pi R = 2\sqrt{\pi S}\); \(AB = 2R = 2\sqrt{\frac{S}{\pi}}\)
Очевидно, что треугольник \(AB_1B\) – прямоугольный.

Тогда \(ctg\varphi = \frac{BB_1}{AB} \rightarrow BB_1 = 2ctg\varphi\sqrt{\frac{S}{\pi}}\)
Площадь боковой поверхности
\(\text{l}_0 \cdot BB_1 = 2\sqrt{\pi S} \cdot 2ctg\varphi\sqrt{\frac{S}{\pi}} = 4S ctg\varphi\)

Дана площадь основания цилиндра \(S\), которая связана с радиусом основания \(R\) формулой площади круга: \(\pi R^2 = S\).

Из этой формулы выразим радиус основания \(R\). Для этого разделим обе части уравнения на \(\pi\) и извлечем квадратный корень: \(R = \sqrt{\frac{S}{\pi}}\).

Длина окружности основания цилиндра (\(\text{l}_0\)) равна \(2\pi R\). Подставим в эту формулу найденное выражение для \(R\): \(\text{l}_0 = 2\pi \sqrt{\frac{S}{\pi}} = 2\sqrt{\pi^2 \frac{S}{\pi}} = 2\sqrt{\pi S}\).

Диаметр основания \(AB\) равен двум радиусам: \(AB = 2R\). Подставим выражение для \(R\): \(AB = 2\sqrt{\frac{S}{\pi}}\).

Указано, что треугольник \(AB_1B\) является прямоугольным. В этом треугольнике \(AB\) является одним из катетов (диаметр основания), а \(BB_1\) — другим катетом (высота цилиндра). Угол \(\varphi\) — это угол между диагональю осевого сечения \(AB_1\) и плоскостью основания. В прямоугольном треугольнике \(AB_1B\), \(ctg\varphi\) равен отношению прилежащего катета \(AB\) к противолежащему катету \(BB_1\), то есть \(ctg\varphi = \frac{AB}{BB_1}\). Однако, в примере используется отношение \(\frac{BB_1}{AB}\). Это соответствует тангенсу угла \(\varphi\), или, если \(\varphi\) — это угол между \(AB_1\) и \(AB\), то \(ctg\varphi = \frac{BB_1}{AB}\). Примем обозначения из примера.

Тогда из соотношения \(ctg\varphi = \frac{BB_1}{AB}\) выразим \(BB_1\): \(BB_1 = AB \cdot ctg\varphi\). Подставим сюда выражение для \(AB\): \(BB_1 = 2\sqrt{\frac{S}{\pi}} ctg\varphi\).

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания (\(\text{l}_0\)) на высоту цилиндра (\(BB_1\)). Формула площади боковой поверхности: \(S_{бок} = \text{l}_0 \cdot BB_1\).

Подставим в эту формулу найденные выражения для \(\text{l}_0\) и \(BB_1\): \(S_{бок} = (2\sqrt{\pi S}) \cdot (2\sqrt{\frac{S}{\pi}} ctg\varphi)\).

Теперь упростим полученное выражение: \(S_{бок} = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{\pi S} \cdot \sqrt{\frac{S}{\pi}} \cdot ctg\varphi = 4 \cdot \sqrt{\pi S \cdot \frac{S}{\pi}} \cdot ctg\varphi = 4 \cdot \sqrt{S^2} \cdot ctg\varphi\).

Так как \(S\) — это площадь, она является положительной величиной, поэтому \(\sqrt{S^2} = S\).

Таким образом, площадь боковой поверхности равна: \(S_{бок} = 4S ctg\varphi\).