Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 339 Атанасян — Подробные Ответы
Высота цилиндра на 12 см больше его радиуса, а площадь полной поверхности равна \(288\pi\) см\(^2\). Найдите радиус основания и высоту цилиндра.
Из условия \(h — R = 12\) следует, что \(h = 12 + R\). Площадь поверхности цилиндра \(S = 2\pi R(R + h)\). Подставляя выражение для \(h\), получаем \(S = 2\pi R(R + 12 + R) = 2\pi R(2R + 12) = 4\pi R(R + 6)\). Из условия \(S = 288\pi\) получаем \(4\pi R(R + 6) = 288\pi\). Делим обе части на \(4\pi\): \(R(R + 6) = 72\), что приводит к квадратному уравнению \(R^2 + 6R — 72 = 0\). Находим дискриминант: \(D = b^2 — 4ac = 6^2 — 4(1)(-72) = 36 + 288 = 324\). Корень из дискриминанта \(\sqrt{D} = \sqrt{324} = 18\). Поскольку радиус должен быть положительным, берем положительный корень квадратного уравнения: \(R = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + 18}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6\) см. Тогда высота \(h = 12 + R = 12 + 6 = 18\) см.
Из условия задачи дано соотношение между высотой цилиндра \(h\) и его радиусом основания \(R\): разность между высотой и радиусом равна 12 см. Это можно записать как \(h — R = 12\). Выразим высоту \(h\) через радиус \(R\): \(h = 12 + R\).
Далее, нам известна формула для полной площади поверхности цилиндра. Полная площадь поверхности цилиндра \(S\) состоит из площади двух оснований (каждое равно \(\pi R^2\)) и площади боковой поверхности (равной \(2\pi R h\)). Таким образом, общая формула: \(S = 2\pi R^2 + 2\pi R h\). Однако, в примере используется формула площади боковой поверхности, что, вероятно, подразумевается в задаче. Формула боковой поверхности цилиндра: \(S = 2\pi R h\).
Теперь подставим в формулу площади боковой поверхности выражение для \(h\), которое мы получили из первого условия: \(h = 12 + R\). Получаем: \(S = 2\pi R (12 + R)\). Раскроем скобки: \(S = 2\pi R \cdot 12 + 2\pi R \cdot R = 24\pi R + 2\pi R^2\). Перепишем это в более стандартном виде: \(S = 2\pi R^2 + 24\pi R\).
По условию задачи, площадь поверхности равна \(288\pi\). Приравниваем полученное выражение для \(S\) к данному значению: \(2\pi R^2 + 24\pi R = 288\pi\).
Теперь упростим это уравнение. Разделим все члены уравнения на \(2\pi\). Получаем: \(\frac{2\pi R^2}{2\pi} + \frac{24\pi R}{2\pi} = \frac{288\pi}{2\pi}\). Это дает: \(R^2 + 12R = 144\).
Однако, в приведенном примере использована другая формула площади или другое условие, так как уравнение получилось \(R^2 + 6R = 72\). Предполагая, что пример верен и площадь боковой поверхности \(S = 2\pi R h\) равна \(288\pi\), и \(h — R = 12\), давайте следовать шагам из примера.
Из \(h — R = 12\), имеем \(h = 12 + R\).
Формула площади боковой поверхности: \(S = 2\pi R h\).
Подставляем \(h = 12 + R\): \(S = 2\pi R (12 + R) = 24\pi R + 2\pi R^2\).
Если \(S = 288\pi\), то \(2\pi R^2 + 24\pi R = 288\pi\). Делим на \(2\pi\): \(R^2 + 12R = 144\).
Пример показывает \(S = 2\pi R(R + h) = 2\pi R(2R + 12) = 4\pi R(R + 6)\) и \(4\pi R^2 + 24\pi R = 288\pi \rightarrow R^2 + 6R = 72\). Это соответствует формуле полной поверхности цилиндра \(S = 2\pi R^2 + 2\pi R h\), где \(h = 12+R\).
\(S = 2\pi R^2 + 2\pi R(12+R) = 2\pi R^2 + 24\pi R + 2\pi R^2 = 4\pi R^2 + 24\pi R\).
Приравниваем к \(288\pi\): \(4\pi R^2 + 24\pi R = 288\pi\).
Делим на \(4\pi\): \(R^2 + 6R = 72\).
Переносим 72 налево, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: \(R^2 + 6R — 72 = 0\).
Это квадратное уравнение вида \(aR^2 + bR + c = 0\), где \(a=1\), \(b=6\), \(c=-72\).
Для решения квадратного уравнения найдем дискриминант \(D\) по формуле \(D = b^2 — 4ac\).
Подставляем значения \(a\), \(b\), \(c\): \(D = 6^2 — 4(1)(-72) = 36 — (-288) = 36 + 288 = 324\).
Находим корень из дискриминанта: \(\sqrt{D} = \sqrt{324}\). Поскольку \(18 \times 18 = 324\), то \(\sqrt{324} = 18\).
Корни квадратного уравнения находятся по формуле \(R = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).
У нас два корня:
\(R_1 = \frac{-6 + 18}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6\)
\(R_2 = \frac{-6 — 18}{2 \cdot 1} = \frac{-24}{2} = -12\)
Поскольку радиус цилиндра не может быть отрицательным, мы отбрасываем корень \(R_2 = -12\). Таким образом, радиус основания цилиндра равен \(R = 6\) см.
Теперь, зная радиус, найдем высоту \(h\) из соотношения \(h = 12 + R\).
Подставляем \(R = 6\): \(h = 12 + 6 = 18\) см.
Итак, радиус цилиндра равен 6 см, а высота цилиндра равна 18 см.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.