Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 335 Атанасян — Подробные Ответы
Через образующую цилиндра проведены две взаимно перпендикулярные плоскости. Площадь каждого из полученных сечений равна S. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.
Площадь сечения равна произведению высоты на длину хорды основания. Для равных площадей сечений длины хорд должны быть равны. Для взаимно перпендикулярных сечений с равными площадями хорды АС и ВС имеют длину \(l\). Радиус основания цилиндра \(R\). Если угол АОС прямой, то \(R = \frac{l}{\sqrt{2}}\). Площадь осевого сечения \(S_c = 2hR = lh\sqrt{2}\). Площадь взаимно перпендикулярных сечений \(S = hl\). Отношение площадей \(\frac{S_o}{S} = \frac{lh\sqrt{2}}{lh} = \sqrt{2}\), откуда \(S_o = S\sqrt{2}\).
Площадь любого сечения цилиндра, проходящего через его высоту, определяется как произведение высоты цилиндра на длину хорды основания, которую это сечение образует. Если площади двух таких сечений равны, то и длины соответствующих хорд на основании цилиндра должны быть равны, поскольку высота цилиндра для обоих сечений одна и та же. В случае двух взаимно перпендикулярных сечений с равными площадями, хорды, лежащие в основании, также взаимно перпендикулярны и имеют равные длины. Обозначим длину каждой из этих равных хорд как \(l\). Пусть О — центр основания цилиндра, а А и С — концы одной из таких хорд. Тогда ОА и ОС являются радиусами основания цилиндра, обозначим их \(R\). Если хорды взаимно перпендикулярны и имеют равную длину, то угол между радиусами, проведенными к концам одной из хорд, может быть прямым. В данном случае, если угол АОС прямой, то треугольник АОС является прямоугольным и равнобедренным с катетами ОА = ОС = \(R\) и гипотенузой АС = \(l\). По теореме Пифагора имеем \(R^2 + R^2 = l^2\), что упрощается до \(2R^2 = l^2\). Из этого следует, что \(R\sqrt{2} = l\), и радиус основания выражается через длину хорды как \(R = \frac{l}{\sqrt{2}}\).
Теперь рассмотрим площадь осевого сечения. Осевое сечение — это сечение, проходящее через ось цилиндра. Оно представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра \(h\), а другая сторона равна диаметру основания, то есть \(2R\). Площадь осевого сечения \(S_c\) равна произведению высоты на диаметр: \(S_c = h \times (2R)\). Подставляя выражение для \(R\) через \(l\), получаем \(S_c = h \times 2 \times \frac{l}{\sqrt{2}} = hl\sqrt{2}\).
Площадь одного из взаимно перпендикулярных сечений, проходящего через хорду длиной \(l\), равна произведению высоты цилиндра \(h\) на длину этой хорды \(l\). Обозначим площадь такого сечения как \(S\). Тогда \(S = hl\).
Теперь найдем отношение площади осевого сечения к площади одного из взаимно перпендикулярных сечений. В примере это отношение обозначено как \(\frac{S_o}{S}\), где \(S_o\) соответствует площади осевого сечения \(S_c\), а \(S\) — площади взаимно перпендикулярного сечения.
\(\frac{S_o}{S} = \frac{S_c}{S} = \frac{lh\sqrt{2}}{lh}\).
Сокращая \(lh\) в числителе и знаменателе, получаем \(\frac{S_o}{S} = \sqrt{2}\).
Из этого соотношения следует, что площадь осевого сечения \(S_o\) в \(\sqrt{2}\) раз больше площади взаимно перпендикулярного сечения \(S\), то есть \(S_o = S\sqrt{2}\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.