ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 334 Атанасян — Подробные Ответы

Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в 60°. Образующая цилиндра равна \(10\sqrt{3}\) см, расстояние от оси до секущей плоскости равно 2 см. Найдите площадь сечения.

В равнобедренном треугольнике АОС высота ОН является также медианой и биссектрисой. Угол СОН равен \(30^\circ\). Из прямоугольного треугольника СОН находим ОС. Используя соотношение \(\cos(\angle COH) = \frac{OH}{OC}\), и если принять \(OH=2\) как следует из шага \(\frac{2}{OC} = \frac{\sqrt{3}}{2}\), получаем \(\frac{2}{OC} = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), откуда \(OC = \frac{4}{\sqrt{3}}\). Также из соотношения \(\sin(\angle COH) = \frac{HC}{OC}\) получаем \(HC = OC \sin 30^\circ = \frac{4}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{\sqrt{3}}\). Поскольку ОН является медианой, \(OC = 2HC\), что подтверждается расчетами: \(2 \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}\). Площадь сечения находится по формуле \(S = h \times OC\). Подставляя данные значения, получаем \(S = 10\sqrt{3} \times \frac{4}{\sqrt{3}} = 40 \, \text{см}^2\).

Треугольник АОС является равнобедренным, поскольку стороны АО и ОС являются радиусами, а радиусы одной окружности равны.

В равнобедренном треугольнике АОС отрезок ОН, являющийся высотой, опущенной к основанию АС, одновременно является биссектрисой угла АОС и медианой к стороне АС.

Согласно условию, угол СОН равен \(30^\circ\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник СОН (поскольку ОН — высота). В этом треугольнике мы можем использовать тригонометрические соотношения.

Косинус угла СОН равен отношению прилежащего катета ОН к гипотенузе ОС: \(\cos(\angle COH) = \frac{OH}{OC}\). Подставляя значение угла, получаем \(\cos 30^\circ = \frac{OH}{OC}\). Известно, что \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Таким образом, \(\frac{OH}{OC} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Синус угла СОН равен отношению противолежащего катета НС к гипотенузе ОС: \(\sin(\angle COH) = \frac{HC}{OC}\). Подставляя значение угла, получаем \(\sin 30^\circ = \frac{HC}{OC}\). Известно, что \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\). Таким образом, \(\frac{HC}{OC} = \frac{1}{2}\).

Из первого соотношения, используя шаг из примера \(\frac{2}{OC} = \frac{\sqrt{3}}{2}\), который подразумевает, что \(OH=2\), находим длину ОС: \(OC = \frac{2 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}\).

Из второго соотношения находим длину НС: \(HC = OC \times \sin 30^\circ = \frac{4}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{\sqrt{3}}\).

Поскольку ОН является медианой, точка Н делит отрезок АС пополам, то есть \(АС = 2НС\). Также в равнобедренном треугольнике медиана к основанию делит его на два равных отрезка, поэтому \(АС = 2НС\). В данном случае, ОН является медианой к АС, поэтому \(ОС = 2НС\). Проверим этот факт с найденными значениями: \(2 \times HC = 2 \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}\), что равно значению ОС.

Площадь сечения находится как произведение высоты сечения на длину хорды, которая в данном случае является ОС. Формула площади сечения дана как \(S = h \times OC\), где \(h\) — высота, равная \(10\sqrt{3}\).

Подставляем известные значения в формулу площади: \(S = 10\sqrt{3} \times \frac{4}{\sqrt{3}}\).

Выполняем умножение: \(S = 10 \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 40 \times 1 = 40\).

Таким образом, площадь сечения равна \(40 \, \text{см}^2\).