Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 332 Атанасян — Подробные Ответы
Высота цилиндра равна h, а площадь осевого сечения равна S. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси, если расстояние между осью цилиндра и плоскостью сечения равно d.
Площадь осевого сечения \(S = 2Rh\), откуда радиус \(R = \frac{S}{2h}\). Треугольник АОС равнобедренный, так как АО и ОС являются радиусами. ОН является высотой, биссектрисой и медианой. По теореме Пифагора находим \(HC = \sqrt{\frac{S^2}{4h^2} — d^2}\). Так как ОН — медиана, \(AC = 2 \sqrt{\frac{S^2}{4h^2} — d^2}\). Тогда \(S = 2h \sqrt{\frac{S^2}{4h^2} — d^2} = \sqrt{S^2 — 4h^2d^2}\).
Площадь осевого сечения цилиндра \(S\) задается формулой \(S = 2Rh\), где \(R\) — радиус основания цилиндра, а \(h\) — его высота. Из этой формулы мы можем выразить радиус \(R\): \(R = \frac{S}{2h}\).
Рассмотрим треугольник АОС, который является осевым сечением конуса (или частью осевого сечения цилиндра, если d — расстояние от центра основания до хорды). В данном случае, судя по контексту с радиусами АО и ОС, речь идет о треугольнике, образованном двумя радиусами и хордой. Если это осевое сечение цилиндра, то АО и ОС — радиусы, а АС — хорда. Треугольник АОС является равнобедренным, так как стороны АО и ОС равны как радиусы.
Отрезок ОН является перпендикуляром из центра О к хорде АС. В равнобедренном треугольнике АОС высота ОН, проведенная к основанию АС, также является биссектрисой угла АОС и медианой к стороне АС. То есть, точка Н делит отрезок АС пополам, и \(АН = НС\). Также ОН перпендикулярно АС.
Мы можем найти длину отрезка НС, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике ОНС. У нас есть гипотенуза ОС (радиус \(R\)) и катет ОН (расстояние \(d\) от центра до хорды). Тогда \(НС^2 = ОС^2 — ОН^2\), или \(НС^2 = R^2 — d^2\). Подставляя выражение для \(R\), получаем \(НС^2 = \left(\frac{S}{2h}\right)^2 — d^2 = \frac{S^2}{4h^2} — d^2\). Извлекая квадратный корень, находим \(НС = \sqrt{\frac{S^2}{4h^2} — d^2}\).
Так как ОН является медианой в равнобедренном треугольнике АОС, отрезок АС равен двум отрезкам НС: \(АС = 2 \cdot НС\). Следовательно, \(АС = 2 \sqrt{\frac{S^2}{4h^2} — d^2}\).
Теперь вернемся к площади осевого сечения \(S\). Если осевое сечение представляет собой прямоугольник (для цилиндра), то его площадь \(S\) равна произведению диаметра основания на высоту, т.е., \(S = 2R \cdot h\). Однако, в контексте данного решения, кажется, что \(S\) относится к площади другого сечения, связанного с хордой АС. Если предположить, что \(S\) в последней строке относится к площади прямоугольника, образованного хордой АС и высотой \(h\), то \(S = АС \cdot h\). Подставляя выражение для АС, получаем \(S = \left(2 \sqrt{\frac{S^2}{4h^2} — d^2}\right) \cdot h = 2h \sqrt{\frac{S^2}{4h^2} — d^2}\).
Чтобы упростить выражение под корнем, приведем дроби к общему знаменателю: \(S = 2h \sqrt{\frac{S^2 — 4h^2d^2}{4h^2}}\). Извлекая \(4h^2\) из-под корня в знаменателе, получаем \(S = 2h \frac{\sqrt{S^2 — 4h^2d^2}}{\sqrt{4h^2}} = 2h \frac{\sqrt{S^2 — 4h^2d^2}}{2h}\). Сокращая \(2h\) в числителе и знаменателе, приходим к окончательному выражению \(S = \sqrt{S^2 — 4h^2d^2}\). Это уравнение связывает площадь осевого сечения \(S\) (в первом определении) с расстоянием \(d\), высотой \(h\) и, вероятно, площадью другого сечения, также обозначенной как \(S\). В контексте задачи, скорее всего, \(S\) в первой строке и \(S\) в последней строке обозначают разные величины, или же есть неявные условия задачи. Однако, следуя предоставленному решению, математические преобразования выполнены верно.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.