Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 33 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что если три плоскости, не проходящие через одну прямую, попарно пересекаются, то прямые, по которым они пересекаются, либо параллельны, либо имеют общую точку.
Дано: три плоскости \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), которые не проходят через одну прямую, попарно пересекаются, образуя прямые \(a = \alpha \cap \beta\), \(b = \beta \cap \gamma\), \(c = \gamma \cap \alpha\).
Если прямые \(a\), \(b\), \(c\) имеют общую точку, то эта точка принадлежит всем трём плоскостям, и прямые пересекаются в одной точке.
Если \(a \cap b = \emptyset\), то \(a\) и \(b\) лежат в плоскости \(\beta\) и параллельны, так как не пересекаются. Аналогично для пар \(b\) и \(c\), \(c\) и \(a\).
Следовательно, прямые \(a\), \(b\), \(c\) либо параллельны, либо имеют общую точку.
Дано: три плоскости \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), которые не проходят через одну прямую, попарно пересекаются, образуя прямые \(a = \alpha \cap \beta\), \(b = \beta \cap \gamma\), \(c = \gamma \cap \alpha\). Требуется доказать, что прямые \(a\), \(b\), \(c\) либо параллельны, либо имеют общую точку.
Рассмотрим пересечения каждой пары плоскостей. Поскольку плоскости \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) не проходят через одну прямую, их попарные пересечения дают три различные прямые \(a\), \(b\), \(c\).
Пусть \(a \cap b = P\). Тогда точка \(P\) принадлежит одновременно плоскостям \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\). Если \(P\) существует, то все три прямые \(a\), \(b\), \(c\) пересекаются в одной точке \(P\), что соответствует утверждению задачи.
Если \(a \cap b = \emptyset\), то прямые \(a\) и \(b\) не пересекаются. В этом случае они лежат в одной плоскости \(\beta\), так как \(a \subset \beta\) и \(b \subset \beta\). Следовательно, \(a \parallel b\).
Аналогично для других пар прямых \(b\) и \(c\), \(c\) и \(a\): если они не пересекаются, то они параллельны, так как находятся в одной из плоскостей \(\gamma\) или \(\alpha\).
Таким образом, прямые \(a\), \(b\), \(c\) либо пересекаются в одной точке, либо попарно параллельны. Это и требовалось доказать.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.