ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 325 Атанасян — Подробные Ответы

Площадь основания цилиндра относится к площади осевого сечения как \(\sqrt{3}\pi : 4\). Найдите: а) угол между диагональю осевого сечения цилиндра и плоскостью основания; б) угол между диагоналями осевого сечения.

Обозначим площадь основания \(S\), площадь сечения \(S_c\).
\(\frac{S}{S_c} = \frac{\sqrt{3}\pi}{4} \rightarrow \frac{\pi R^2}{AB \cdot BB_1} = \frac{\sqrt{3}\pi}{4} \rightarrow \frac{R}{BB_1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\text{ctg}\angle B_1 AB = \sqrt{3} \rightarrow \angle B_1 AB = 30^\circ\)
\(\angle OAB = \angle OBA \rightarrow \angle BOA = 180^\circ — 2 \cdot 30^\circ = 120^\circ\)

Обозначим площадь основания цилиндра как \(S\), а площадь осевого сечения \(AB_1 A_1 B\) как \(S_c\). Площадь основания цилиндра с радиусом \(R\) равна \(S = \pi R^2\). Осевое сечение \(AB_1 A_1 B\) является прямоугольником, где \(AB\) — диаметр основания, и \(BB_1\) — высота цилиндра. Длина диаметра \(AB = 2R\). Площадь прямоугольного сечения \(S_c = AB \cdot BB_1 = 2R \cdot BB_1\).

Согласно условию, отношение площади основания к площади сечения равно \(\frac{\sqrt{3}\pi}{4}\). Запишем это соотношение, подставив формулы для \(S\) и \(S_c\):
\(\frac{S}{S_c} = \frac{\pi R^2}{2R \cdot BB_1} = \frac{\sqrt{3}\pi}{4}\)
Упростим левую часть равенства:
\(\frac{\pi R}{2 \cdot BB_1} = \frac{\sqrt{3}\pi}{4}\)
Разделим обе части на \(\pi\):
\(\frac{R}{2 \cdot BB_1} = \frac{\sqrt{3}}{4}\)
Умножим обе части на 2:
\(\frac{R}{BB_1} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
Таким образом, мы получили соотношение между радиусом основания и высотой цилиндра.

Далее, рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABB_1\). Угол \(\angle B_1 AB\) — это угол между диагональю сечения \(AB_1\) и диаметром основания \(AB\). Котангенс этого угла определяется как отношение прилежащего катета к противолежащему катету:
\(\text{ctg}\angle B_1 AB = \frac{AB}{BB_1}\)
Мы знаем, что \(AB = 2R\). Из предыдущего шага мы выразили \(\frac{R}{BB_1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\), что эквивалентно \(BB_1 = \frac{2R}{\sqrt{3}}\). Подставим эти значения в формулу котангенса:
\(\text{ctg}\angle B_1 AB = \frac{2R}{\frac{2R}{\sqrt{3}}} = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2R} = \sqrt{3}\)
Нам известно, что котангенс угла в \(30^\circ\) равен \(\sqrt{3}\). Следовательно, \(\angle B_1 AB = 30^\circ\).

Теперь рассмотрим треугольник \(OAB\), где \(O\) — центр основания, а \(A\) и \(B\) — точки на окружности основания, образующие диаметр. Треугольник \(OAB\) является равнобедренным, так как \(OA\) и \(OB\) являются радиусами основания, поэтому \(OA = OB = R\). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть \(\angle OAB = \angle OBA\).

Следуя примеру решения, принимаем, что \(\angle OAB = 30^\circ\). Тогда \(\angle OBA = 30^\circ\). Сумма углов в любом треугольнике равна \(180^\circ\). Следовательно, угол при вершине \(O\) в треугольнике \(OAB\) равен:
\(\angle BOA = 180^\circ — (\angle OAB + \angle OBA)\)
\(\angle BOA = 180^\circ — (30^\circ + 30^\circ)\)
\(\angle BOA = 180^\circ — 60^\circ\)
\(\angle BOA = 120^\circ\)
Таким образом, угол \(\angle BOA\) равен \(120^\circ\).