Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 320 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что осевое сечение цилиндра является прямоугольником, две противоположные стороны которого — образующие, а две другие — диаметры оснований цилиндра. Найдите диагональ осевого сечения, если радиус цилиндра равен 1,5 м, а высота равна 4 м
Поскольку параллельный перенос сохраняет расстояния, \(AA_1B_1B\) является прямоугольником. В прямоугольнике диагонали равны, следовательно, \(AB_1 = A_1B\). По теореме Пифагора: \(AB_1 = A_1B = \sqrt(16 + 9) = \sqrt(25) = 5\) м.
По условию задачи одно основание цилиндра получено из другого посредством параллельного переноса. Параллельный перенос является преобразованием, которое сохраняет расстояния между точками. Это означает, что если мы возьмем любые две точки на исходном основании, расстояние между ними будет таким же, как расстояние между соответствующими им точками на перенесенном основании. Следовательно, отрезок \(AB\) на одном основании и соответствующий ему отрезок \(A_1B_1\) на другом основании имеют равную длину, то есть \(A_1B_1 = AB\).
Также при параллельном переносе отрезки, соединяющие соответствующие точки (например, точку \(A\) на исходном основании и точку \(A_1\) на перенесенном основании, а также точку \(B\) на исходном основании и точку \(B_1\) на перенесенном основании), являются параллельными друг другу и имеют одинаковую длину. Таким образом, \(AA_1\) параллелен \(BB_1\) и \(AA_1 = BB_1\). Поскольку основания цилиндра лежат в параллельных плоскостях, а отрезки \(AA_1\) и \(BB_1\) соединяют точки этих плоскостей и равны по длине, то четырехугольник \(AA_1B_1B\) является параллелограммом. В прямом цилиндре отрезки \(AA_1\) и \(BB_1\) перпендикулярны основаниям, что делает углы \(A_1AB\) и \(B_1BA\) прямыми. Следовательно, параллелограмм \(AA_1B_1B\) с прямыми углами является прямоугольником.
В прямоугольнике \(AA_1B_1B\) диагонали равны. Диагоналями этого прямоугольника являются отрезки \(AB_1\) и \(A_1B\). Поэтому \(AB_1 = A_1B\). Для нахождения длины этих диагоналей мы можем использовать теорему Пифагора в одном из прямоугольных треугольников, образованных сторонами и диагональю прямоугольника \(AA_1B_1B\). Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами \(AB\) и \(AA_1\) и гипотенузой \(AB_1\). По теореме Пифагора, квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. То есть, \(AB_1^2 = AB^2 + AA_1^2\).
В данном случае, согласно представленному решению, длина \(AB_1\) находится как квадратный корень из суммы 16 и 9. Это означает, что квадраты длин катетов \(AB\) и \(AA_1\) равны 16 и 9 (или наоборот). Таким образом, \(AB^2 = 16\) и \(AA_1^2 = 9\). Извлекая квадратный корень, получаем \(AB = \sqrt(16) = 4\) и \(AA_1 = \sqrt(9) = 3\) (или наоборот). Подставляя эти значения в формулу теоремы Пифагора, получаем \(AB_1 = \sqrt(AB^2 + AA_1^2) = \sqrt(16 + 9)\).
Вычисляем сумму под знаком квадратного корня: \(16 + 9 = 25\). Теперь извлекаем квадратный корень из 25: \(\sqrt(25) = 5\). Следовательно, длина отрезка \(AB_1\) равна 5 метрам. Поскольку \(AB_1 = A_1B\), то длина отрезка \(A_1B\) также равна 5 метрам. Таким образом, по теореме Пифагора \(AB_1 = A_1B = \sqrt(16 + 9) = \sqrt(25) = 5\) м.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.